7-6高阶线性微分方程解的结构

高阶线性微分方程解的结构第6节二、线性齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构*四、常数变易法一、二阶线性微分方程举例第7章教学目的与要求：理解二阶线性微分方程解的结构.重点：二阶线性微分方程解的结构.难点：线性相关与线性无关一、二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,xxo解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.据牛顿第二定律得,2mck,2mn令则得有阻尼自由振动方程:0dd2dd222xktxntx阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力作用，tpHFsin，令mhH则得强迫振动方程:tphxktxntxsindd2dd222求电容器两两极板间电压0ddiRCqtiLE例2.联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.cu提示:设电路中电流为i(t),∼~‖LERKCqqi上的电量为q(t),自感电动势为,LE由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串极板在闭合回路中,所有支路上的电压降为0LCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得0dd2dd2022CCCututu~‖LERKCqqi22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化为关于cu的方程:故有n阶线性微分方程的一般形式为方程的共性为二阶线性微分方程.例1例2,)()()(xfyxqyxpy—可归结为同一形式:)()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn时,称为非齐次方程;0)(xf时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解齐次方程通解Yy0)(xf])[(11yCxP][)(11yCxQ0证毕二、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()(yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边,得][11yC22yC22yC22yC])()([1111yxQyxPyC])()([2222yxQyxPyC(叠加原理))()(2211xyCxyCy则定理1.说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使1221)()(kkxyxy(无妨设)01k线性无关)()(21xyxy常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关(证明略)线性无关定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则)()(2211xyCxyCy数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)推论.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y三、线性非齐次方程解的结构)(*xy设是二阶非齐次方程的一个特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:将)(*)(xyxYy代入方程①左端,得)*(yY)*()(yYxP))()((YxQYxPY)(0)(xfxf)*()(yYxQ②①)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解xCxCYsincos21对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.定理4.分别是方程的特解,是方程),,2,1()()()(nkxfyxQyxPyk)()()(1xfyxQyxPynkk的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.定理5.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程)()(xyxY是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy的解,21,CC是任意;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCCD例3.提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89考研)例4.已知微分方程)()()(xfyxqyxpy个解,,,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解:1312yyyy与是对应齐次方程的解,且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关,故原方程通解为)()(221xeCxeCyxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.22xxeey故所求特解为有三*四、常数变易法复习:常数变易法:)()(xfyxpy对应齐次方程的通解:)(1xyCyxxpexyd)(1)(设非齐次方程的解为)(1xyy代入原方程确定).(xu对二阶非齐次方程)()()(xfyxQyxPy情形1.已知对应齐次方程通解:)()(2211xyCxyCy设③的解为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv③))(),((21待定xvxv由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:④)(xu2211vyvyy2211vyvy⑤,,21vvy中不含为使令02211vyvy于是22112211vyvyvyvyy将以上结果代入方程①:2211vyvy1111)(vyQyPy)()(2222xfvyQyPy得)(2211xfvyvy⑥故⑤,⑥的系数行列式02121yyyyW21,yy是对应齐次方程的解,,21线性无关因yyfyWvfyWv12211,1积分得:)(),(222111xgCvxgCv代入③即得非齐次方程的通解:)()(22112211xgyxgyyCyCy于是得说明:将③的解设为)()(21xyxyy)(1xv)(2xv只有一个必须满足的条件即方程③,因此必需再附加一个条件,方程⑤的引入是为了简化计算.情形2.).(1xy仅知③的齐次方程的一个非零特解,)()(1xyxuy令代入③化简得uyPyuy)2(111uyQyPy)(111fuz令fzyPyzy)2(111设其通解为)()(2xzxZCz积分得)()(21xuxUCCu(一阶线性方程)由此得原方程③的通解:)()()()()(11211xyxuxyxUCxyCy例5.0)1(yyxyx的通解为,21xeCxCY的通解.解:将所给方程化为:1111xyxyxxy已知齐次方程求2)1()1(xyyxyx),()(21xvexvxyx令利用⑤,⑥建立方程组:021vevxx121xvevx,,121xexvv解得积分得xexCvxCv)1(,2211故所求通解为)1(221xxeCxCyx)1(221xeCxCx例6.42)()2(xyyxxyx求方程的通解.解:对应齐次方程为0)()2(2yyxxyx由观察可知它有特解:,1xy令,)(xuxy代入非齐次方程后化简得xuu此题不需再作变换.特征根:,1,0rr设⑦的特解为)(BAxxu于是得⑦的通解:)(22121xxeCCux故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程)⑦代入⑦可得:1,21BA)(232121xxexCxCuxyx思考与练习P300题1,3,4(2),(5)思考题已知31y，223xy，xexy233都是微分方程16222222xyxyxyxx的解，求此方程所对应齐次方程的通解.思考题解答321,,yyy都是微分方程的解,,23xeyy,212xyy是对应齐次方程的解,21223xeyyyyx常数所求通解为.221xCeCx122231yyCyyCy