第11讲：数学解题方法之换元法探讨

【备战2013高考数学专题讲座】第11讲：数学解题方法之换元法探讨江苏泰州锦元数学工作室编辑3～8讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元法又称辅助元素法、变量代换法。换元的实质是转化，关键是构造元或设元，理论依据是等量代换，目的是通过引进新的变量，把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把不熟悉的形式变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化，把非标准型问题标准化等。通过换元，可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，化代数式为三角式等。在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元，三角换元，均值换元。结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面三方面探讨换元法的应用：（1）局部换元法的应用；（2）三角换元法的应用；（3）均值换元法的应用。一、局部换元法的应用：局部换元，又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1.（2012年上海市文4分）方程14230xx的解是▲【答案】3log2。【考点】解指数方程。【解析】方程03241xx，化简为0322)2(2xx。令20xtt，则原方程可化为0322tt，解得3t或1t（舍去）。∴3log,322xx。∴原方程的解为3log2。【点评】通过设20xtt，将原方程变为熟悉的一元二次方程和指数方程的问题。例2.（2012年全国课标卷理5分）已知函数1()ln(1)fxxx；则()yfx的图像大致为【】()A()B()C()D【答案】B。【考点】导数的应用。【解析】设()ln(1)gxxx，则()1xgxx。∵()0gx时，10x；()0gx时，0x，∴()(0)0gxg。∴0x或10x均有()0fx。因此排除,,ACD。故选B。【点评】通过设()ln(1)gxxx，将原函数变为较为简单的函数，讨论其单调性得到原函数的单调性，从而作出正确的判断。例3.（2012年安徽省理13分）设1()(0)xxfxaebaae（I）求()fx在[0,)上的最小值；（II）设曲线()yfx在点(2,(2))f的切线方程为32yx；求,ab的值。【答案】解：（I）设(1)xtet，则1yatbat。∴222211atyaatat。①当1a时，0y。∴1yatbat在1t上是增函数。∴当1(0)tx时，()fx的最小值为1aba。②当01a时，12yatbbat∴当且仅当11(,ln)xattexaa时，()fx的最小值为2b。（II）∵1()xxfxaebae，∴1()xxfxaeae。由题意得：(2)33(2)2ff，即222213132aebaeaeae，解得2212aeb。【考点】复合函数的应用，导数的应用，函数的增减性，基本不等式的应用。【解析】（I）根据导数的的性质分1a和01a求解。（II）根据切线的几何意义列方程组求解。【点评】通过设(1)xtet，将原函数变为较为简单的函数，讨论其单调性得到原函数的单调性。例4.（2012年全国课标卷文5分）数列na满足nn1na(1)a2n1＋－＝－，则na的前60项和为【】（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830【答案】D。【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。【解析】求出na的通项：由nn1na(1)a2n1＋－＝－得，当n=1时，21a1a；当n=2时，321a3a=2a；当n=3时，431a5a=7a；当n=4时，541a7a=a；当n=5时，651a9a=9a；当n=6时，761a11a=2a；当n=7时，761a13a=15a；当n=8时，871a15a=a；······当n=4m+1时，4m21a8m1a；当n=4m+2时，4m21a2a；当n=4m+3时，4m41a8m7a；当n=4m+4时，4m51aa（m=0,1,2，）。∵4m4m51aaa，∴n{a}的四项之和为4m14m24m34m41111aaaa=a8m1a2a8m7a=16m10（m=0,1,2，）。设m4m14m24m34m4baaaa=16m10（m=0,1,2，）。则n{a}的前60项和等于m{b}的前15项和，而m{b}是首项为10，公差为16的等差数列，∴n{a}的前60项和=m{b}的前15项和=101614101518302。故选D。【点评】通过设m4m14m24m34m4baaaa=16m10（m=0,1,2，），将原数列前60项和变为简单的等差数列前15项和的问题。例5.（2012年四川省文5分）设函数3()(3)1fxxx，{}na是公差不为0的等差数列，127()()()14fafafa，则721aaa【】A、0B、7C、14D、21【答案】D。【考点】高次函数的性质，等差数列性质。【解析】∵{}na是公差不为0的等差数列，记公差为d。∴142434546474=3=2==+=+2=+3aadaadaadaadaadaad，，，，，。则127()()()fafafa333444444=[(33)31][(23)21][(+33)+31]adadadadadad3444=7(3)+21(3)+77aaa。∵127()()()14fafafa，∴34447(3)+21(3)+77=14aaa。设43=ax，则3247+28=07+4=0=0=3xxxxxa。∴12747=73=21aaaa。故选D。【点评】通过设43=ax，使方程变得简单。例6.（2012年江苏省5分）已知正数abc，，满足：4ln53lnbcaacccacb≤≤≥，，则ba的取值范围是▲．【答案】7e，。【考点】可行域。【解析】条件4ln53lnbcaacccacb≤≤≥，可化为：354acabccabccbec。设==abxycc，，则题目转化为：已知xy，满足35400xxyxyyexy，，求yx的取值范围。作出（xy，）所在平面区域（如图）。求出=xye的切线的斜率e，设过切点00Pxy，的切线为=0yexmm，则00000==yexmmexxx，要使它最小，须=0m。∴yx的最小值在00Pxy，处，为e。此时，点00Pxy，在=xye上,AB之间。当（xy，）对应点C时，=45=205=7=7=534=2012yxyxyyxyxyxx，∴yx的最大值在C处，为7。∴yx的取值范围为7e，，即ba的取值范围是7e，。【点评】通过设==abxycc，，将问题变为可行域问题求解。二、三角换元法的应用：三角换元，是利用已知代数式中与三角知识中的联系进行换元，直角坐标与极坐标的互化就是典型的三角换元。典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1.（2012年安徽省理5分）在极坐标系中，圆4sin的圆心到直线()6R的距离是▲【答案】3。【考点】极坐标与直角坐标的转换，点到直线的距离公式。【解析】将4sin化为直角坐标方程：22(2)4xy，其圆心坐标为(0,2)。将()6R化为直角坐标方程：30xy。∴根据点到直线的距离公式，得圆心到直线()6R的距离是02332。【点评】通过极坐标方程化直角坐标方程（本质是三角换元），将问题变为熟悉的求解直角坐标系中点到直线的距离问题。例2.（2012年湖南省文5分）在极坐标系中，曲线1C：(2cossin)1与曲线2C：a(0)a的一个交点在极轴上，则a=▲.【答案】22。【考点】直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系。【解析】曲线1C的直角坐标方程是21xy，曲线2C的普通方程是直角坐标方程222xya，∵曲线C1：(2cossin)1与曲线C2：a(0)a的一个交点在极轴上，∴1C与x轴交点横坐标与a值相等。由20,2yx，知a＝22。【点评】通过极坐标方程化直角坐标方程（本质是三角换元），将问题变为熟悉的求解直角坐标问题。例3.（2012年陕西省文5分）直线2cos1与圆2cos相交的弦长为▲【答案】3。【考点】极坐标方程，圆和直线的关系。【解析】将极坐标方程化为普通方程为12x=与222xyx+=，联立方程组成方程组求出两交点的坐标13(,)22和13(,)22-，故弦长等于3。【点评】通过极坐标方程化直角坐标方程（本质是三角换元），将问题变为熟悉的求解直角坐标问题。例4.（2012年全国课标卷文5分）已知曲线1C的参数方程是)(3siny2cosx为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在2C上，且,,,ABCD依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3(Ｉ)求点,,,ABCD的直角坐标；(Ⅱ)设P为1C上任意一点，求2222PAPBPCPD的取值范围。【答案】解：(Ｉ)∵正方形ABCD的顶点都在2C：2上，∴点,,,ABCD的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636。∴点,,,ABCD的直角坐标为：554411112cos2sin2cos2sin2cos2sin2cos2sin33663366，，，，，，，，即(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)。(Ⅱ)设00(,)Pxy，则002cos()3sinxy为参数。∵22222=12cos33sin=44cos9sin4cos63sinPA，22222=32cos13sin=44cos9sin43cos6sinPB，22222=12cos33sin=44cos9sin4cos63sinPC，22222=32cos13sin=44cos9sin43cos6sinPD，∴22222221616cos36sin=3220sinPAPBPCPD。∵20sin1，∴2222PAPBPCPD的取值范围[32,52]。【考点】参数方程和极坐标方程，极坐标和直角坐标的转换，三角函数值的范围。【解析】(Ｉ)由正方形的性质，首先求得,,,ABCD的极坐标，再转换成直角坐标，两点间距离公式。(Ⅱ)根据两点间距离公式，求出2222PAPBPCPD的表达式即可求出其取值范围。【点评】通过利用参数方程)(3siny2cosx为参数（本质是三角换元），将问题变为三角函数求范围问题。三、均值换元法的应用：均值换元，是利用两个量的平均值和一个字母元，沟通原来两个量之间的关系，从而简便计算