1.3.2函数的极值与导数(上课)

1.3.2函数的极值与导数单调性与导数的关系：设函数y=f(x)在某个区间内可导，•如果f′(x)0，则f(x)为增函数；•如果f′(x)0，则f(x)为减函数；•如果f′(x)=0，则f(x)为常数函数；复习:预习检测1下图是导函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.)(xfy)(xfyabxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy判断下面4个命题，其中是真命题序号为。①可导函数必有极值；②可导函数在极值点的导数一定等于零；③函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。②预习检测2函数的极值定义oxyoxyaa使函数取得极值的点x0称为极值点（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.注意：oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1))y=f(x)Q(x2,f(x2))（1）极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质,不是整体的最值;（2）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；观察与思考：极值与导数有何关系？对于可导函数,若x0是极值点,则f’(x0)=0;反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点.oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)oax0bxyxx0左侧x0x0右侧f(x)f(x)增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值减f(x)0f(x)=0增减极小值f(x)0如何判断f(x0)是极大值或是极小值？左正右负为极大，右正左负为极小若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?思考探索:x=0是否为函数f(x)=x3的极值点?xyOf(x)x3f(x)=3x2当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f(x0)=0x0是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0是函数f(x)的极值点f(x0)=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件因为所以例1求函数的极值.31()443fxxx解:,4431)(3xxxf)2(2.4)(2xxxxf）（令解得或,0)(xf,2x.2x当,即,或;当,即.0)(xf0)(xf2x2x22x当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)极大值极小值–()fx++所以,当x=–2时,f(x)有极大值;当x=2时,f(x)有极小值.例题选讲:32834解:).2)(2(42xxxy令,解得x1=-2,x2=2.0y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y↗极大值↘极小值↗因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=.例1求函数的极值.31()443fxxx3283432834例题1的图像-2oxy2+--+f(x)=x3-4x+43134328求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f’(x)在方程根左右的符号——•如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；•如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；练习2求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,112)()1(xxf令解得列表:,0)(xf.121xx0f(x))(xf+递增递减–)121,(),121(1212449极大值所以,当时,f(x)有极小值121x.2449)121(f练习2求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,0273)()2(2xxf令解得列表:.3,321xxx(–∞,–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–)(xf++单调递增单调递减单调递增5454所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.练习2求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解:,0312)()3(2xxf令解得.2,221xx所以,当x=–2时,f(x)有极小值–10;当x=2时,f(x)有极大值22.,033)()4(2xxf令解得.1,121xx所以,当x=–1时,f(x)有极小值–2;当x=1时,f(x)有极大值2.32()fxaxbxcx例题2.(2006年北京卷)已知函数在点处取得极大值5,其导函数的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）,求：（1）的值；（2）a,b,c的值；0x'()yfx0x2,9,12abc.10x5)1(cbaf0412)2(023)1(//＝cbafcbaf(1)由图像可知：)0(23(2/acbxaxxf　　）＝(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用2.（2006年天津卷)函数的定义域为开区间()fx导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有（）个极小值点。()fx(,)ab(,)ab(,)ab()fxA课外练习:1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为.21aa或(A)1(B)2(C)3(D)4abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?O作业:课本P34A组5练习下图是导函数的图象,在标记的点中,在哪一点处(1)导函数有极大值?(2)导函数有极小值?(3)函数有极大值?(4)函数有极小值?)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy2xx1xx4xx或3xx5xx2、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为()A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值D练习：函数在时有极值10，则a，b的值为（）A、或B、或C、D、以上都不对223)(abxaxxxf1x3,3ba11,4ba1,4ba11,4ba11,4baC，解:由题设条件得：0)1(10)1(/ff0231012baaba解之得11433baba或通过验证，都合要求，故应选择A。注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验3.