您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 行业资料 > 冶金工业 > 1.3.2函数的极值与导数
1.3.2函数的极值与导数主题一函数极值的概念观察图象回答下面问题1.函数在点x=a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系?提示:函数在点x=a的函数值比它在点x=a附近的其他点的函数值都小.2.f′(a)等于多少?在点x=a附近,函数的导数的符号有什么规律?提示:f′(a)=0,在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.3.函数在点x=b处的情况呢?提示:函数在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.结论:极大(小)值的概念(1)函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,且__________,在点x=a附近的左侧__________,右侧__________,则a叫做极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.f′(a)=0f′(x)<0f′(x)>0(2)函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,且__________,在点x=b附近的左侧__________,右侧__________,则b叫做极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.f′(b)=0f′(x)>0f′(x)<0【微思考】1.函数的极值可以在区间端点处取得吗?提示:不可以,因为在端点处不能反映两侧的函数值的变化情况,况且端点处的导数不一定为0.2.当f′(x0)=0时,x=x0是否一定为y=f(x)的极值点?提示:不一定,只有同时满足x0左右导数符号不一致时才称x0为极值点.3.函数的极大值一定大于极小值吗?提示:不一定,极值刻画的是函数的局部性质,反映了函数在某一点附近的大小情况,极大值可能比极小值还小.【预习自测】1.函数y=f(x)的导数y′与函数值和极值之间的关系为()A.导数y′由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值B.导数y′由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值C.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值D.导数y′由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值【解析】选D.由导数y′与函数值的变化情况以及极值之间的关系,可知选项D正确.2.(2016·陕西高考)设函数,则()A.为f(x)的极大值点B.为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点2fxlnxx1x21x2【解析】选D.函数f(x)的定义域为(0,+∞),.当x=2时,f′(x)=0;当x>2时,f′(x)>0,函数f(x)为增函数;当0<x<2时,f′(x)<0,函数f(x)为减函数,所以x=2为函数f(x)的极小值点.2221x2fxxxx3.如图是导函数y=f′(x)的图象,函数y=f(x)的极大值点是,极小值点是.【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方,导数为正,在点x2右侧附近导数图象在x轴下方,导数为负,故点x2为极大值点,因为在点x4左侧导数图象在x轴下方,导数为负,在点x4右侧附近导数图象在x轴上方,导数为正,故点x4为极小值点.答案:x2x4主题二求函数的极值【典例1】求函数的极值.【解析】函数的定义域为(0,+∞),且,令f′(x)=0,得x=e,lnxfxxlnxfxx21lnxfxx当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:故当x=e时,函数取得极大值,无极小值.1ex(0,e)e(e,+∞)f′(x)+0-f(x)1fee【方法总结】求可导函数f(x)的极值的步骤(1)定区间求导:确定函数的定义区间,求导数f′(x).(2)解方程:求方程f′(x)=0的根.(3)列表:用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格.(4)检测判断:检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.【巩固训练】1.求函数的极值.【解析】函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).,令y′=0,得x=±2.8y2xx=+28y2x=-当x变化时,y′,y的变化情况如下表:由表知:当x=-2时,y极大值=-8;当x=2时,y极小值=8.x(-∞,-2)-2(-2,0)(0,2)2(2,+∞)y′+0--0+y单调递增-8单调递减单调递减8单调递增【课堂小结】1.知识总结
本文标题:1.3.2函数的极值与导数
链接地址:https://www.777doc.com/doc-3268543 .html