1.2.2.1 组合及组合数公式

1.2.2组合1组合及组合数公式有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任意取出两个，共有多少种不同的取法？引例一般地，从n个元素中，任意，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．不同并成一组取出m(m≤n)个元素一、组合的定义：注意：如果两个组合中的元素，那么不管元素的顺序如何，都是相同组合，只有当两个组合中的元素不同时，才是不同的组合．完全相同二、组合数的定义：从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示.Cmn从1,3,5,7中任取两个数相除．问题1：可以得到多少个不同的商？问题2：如何用分步法求商的个数？提示：A24＝4×3＝12个．提示：第一步，从这四个数中任取两个数，有C24种方法；第二步，将每个组合中的两个数排列，有A22种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为C24A22.三、组合数公式：问题3：你能得出计算C24的公式吗？提示：能．因为A24＝C24A22，所以C24＝A24A22.问题4：试用列举法求从1,3,5,7中任取两个元素的组合数．提示：1、3,1、5,1、7,3、5,3、7,5、7，共6种．提示：可以，从n个不同元素中取出m个元素的排列数可由以下两个步骤得到：第一步，从这n个不同元素中取出m个元素，共有Cmn种不同的取法；第二步，将取出的m个元素全排列，共有Amm种不同的排法．由分步乘法计数原理知，Amn＝Cmn·Amm，故Cmn＝AmnAmm.问题5：你能把问题3的结论推广到一般吗？组合数定义从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数.表示法CmnCmn＝组合数公式所有组合的个数nn－1n－2…n－m＋1m！Cmn＝n！m！n－m！小结：mnmmAA规定01nC1．组合的特点组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．2．组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求．3．相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合．注意：四、练习：例1判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来．(1)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7}，则集合的子集中有3个元素的有多少？(2)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？(3)8人相互通电话一次，共通了多少次电话？(4)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？解答：(1)已知集合的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题，共有C37个．(2)因为发件人与收件人有顺序区别，与顺序有关是排列问题，共写了A28个电子邮件．(3)同时通电话，无顺序，是组合问题，共通了C28次电话．(4)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A24种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C24种票价．例2．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．解：要想列出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.例3计算C37和C26＋C36；解答C37＝7×6×53×2×1＝35，C26＋C36＝6×52×1＋6×5×43×2×1＝15＋20＝35.1．C25＝()A．10B．11C．12D．20【解析】C25＝5×42×1＝10.【答案】A课堂练习：2．已知C2x＝36，则x的值为()A．6B．7C．8D．9【解析】∵C2x＝xx－12＝36，∴x(x－1)＝72，∴x＝9.【答案】D3．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________．【解析】从四个数中任取两个数的取法为C24＝6.【答案】64、在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解：(1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．[精解详析](1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(7分)(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．(10分)[精解详析](1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．(2分)(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法．(4分)(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．(10分)[精解详析](1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．(2分)(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法．(4分)(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(7分)(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．作业：预习教材P18课后练习A再见