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1第三节2一、样本均值和样本方差的分布设总体),(~2NX,样本),,,(21nXXX,1.样本均值),(~2nNX.由于正态分布具有可加性,即相互独立的正态变量的线性组合仍为正态变量,而前已证明证,)(EX,nX2)(D所以.),(~2nNX标准化.)1,0(~/NnXU32.22)1(Sn3.X与2S相互独立;niiXX122)(1.)1(~2n.)1(~/.4ntnSXt证1.样本均值),(~2nNX.且nX/2与22)1(Sn相互独立,,)1(~)1(222nSn,)1,0(~/NnXU注:)(~)(12122nXnii4且nX/2与22)1(Sn相互独立,,)1,0(~/NnX,)1(~)1(222nSn由t分布的定义,)1()1(/222nSnnXTnSX/.)1(~nt5设总体,)4,(~NX若要以95%的概率保证样本均值X与总体期望的偏差小于0.1,问样本容量n应取多大?例1解因,)4,(~NX故,)4,(~nNX所以}1.0{PX1)/1.0(2nΦ,95.0即,975.0)05.0(nΦ查表得,96.105.0n,64.1536n即应取.1537n6用2S代替2,构造统计量.)1(~/ntnSXT设某厂生产的灯泡的使用寿命),1000(~2NX(单位:小时).今抽取一容量为9的样本,得到,100s试求.}940{PX例2分析解由于题中2未知,故不能用,),(~2nNX因为,)8(~9/1000tSXT}940{PX}3/10010009403/1001000{PX,}8.1{PT故7,)8(~9/1000tSXT,}8.1{PT}940{PX,8.1)8(t令查表得,3968.1)8(1.0t,8595.1)8(05.0t用线性插值得.056.0故.056.0}940{PXxO)(nt)(nt8设总体,),(~2NX)16(),,,(21nXXXn是来自X的样本,求概率例3解由分布定理知,;}2)(12{P)1(2122niiXn.}2)(12{P)2(2122niiXXn,)(~)(2212nXnii.)1(~)1()(222212nSnXXnii9;}2)(12{P)1(2122niiXn}2)(2{P212nXnnii}32)16(8{P2}32)16({P}8)16({P22.94.001.095.0xO)(xf)(2n10xO)(xf)(2n}2)(12{P)2(2122niiXXn}2)(2{P212nXXnnii}32)15(8{P2}32)15({P}8)15({P22.895.0005.090.011设),,,(21nXXX是来自正态总体),(~2NX的样本,其样本均值和样本方差分别为2,SX,1nX是对X的又一次独立观测值,求下面统计量的概率分布:例411nnSXXZn解因,),(~21NXn,),(~2nNX故,),0(~221nNXXn标准化得,)1,0(~11NnnXXn12,)1,0(~11NnnXXn又由抽样分布定理知,)1(~)1(222nSn于是据t分布的定义得,)1(~)1()1(1221ntnSnnnXXn即.)1(~11ntnnSXXZn13二、样本均值差和联合样本方差的分布下面讨论一下两个正态总体的情况.设两个正态总体),(~211NX,),(~222NY相互独立,分别抽取样本),,,(121nXXX和),,,(221nYYY,各自的样本均值和样本方差分别记为22,,,YXSSYX,则(1))1,0(~//)()(22212121NnnYXU(2),时当22221,)()2(~11)(212121nntnnSYXTxy.2)1()1(2122212nnSnSnSYXxy其中联合样本方差14(1))1,0(~//)()(22212121NnnYXU证(1),),(~1211nNX,),(~2222nNY由正态分布的可加性,可得.),(~22212121nnNYX标准化,即得.)1,0(~)()(22212121NnnYXU且X与Y相互独立,15(2),)1(~)1(122121nSnX,)1(~)1(222222nSnY且22,YXSS相互独立,由2分布的可加性,有.)2(~)1()1(21222222121nnSnSnVYX因为22221,记2)1()1(2122212nnSnSnSYXxy,则有.)2(~)2(2122221nnSnnVxy---联合样本方差的分布16.)2(~)2(2122221nnSnnVxy且U与V相互独立,则)2/(21nnVUT212111)(nnSYXxy)(.)2(~21nnt.)1,0(~)()(22212121NnnYXU17二、样本方差比的分布设两个正态总体),(~211NX,),(~222NY相互独立,分别抽取样本),,,(121nXXX和),,,(221nYYY,2XS和2YS为各自的样本方差,则.)1,1(~21222122nnFSSFYX证,)1(~)1(122121nSnX,)1(~)1(222222nSnY且2XS与2YS相互独立,由F分布的定义可得结论.18小结样本均值niiXnX11样本方差niiXXnS122)(11niiXnXn12211,)(EX,nX2)(D.)(E22S,)(EX,)(D2X设总体的期望和方差分别为则有19统计三大分布:(1)(2)nXXX,,,21相互独立,且,)1,0(~NXi则222212nXXX.)(~2n.)(~ntnYXT设)1,0(~NX,)(~2nY,且X,Y相互独立,设)(~2mX,)(~2nY,且X,Y相互独立,.),(~//nmFnYmXF(3)20设总体),(~2NX,样本),,,(21nXXX,)1,0(~/NnXU抽样分布定理:(1))1(~)1(222nSn(2)(3).)1(~/ntnSXT,),(~2nNX21(4)独立,分别抽取样本),,,(121nXXX和),,,(221nYYY,)1,0(~//)()(22212121NnnYXU,)()2(~11)(212121nntnnSYXTxy设两个正态总体),(~211NX,),(~222NY相互(5).)1,1(~21222122nnFSSFYX2)1()1(2122212nnSnSnSYXxy其中22练习:P171习题六23设总体X的期望为,方差为2,若至少要以95%的概率保证,1.0X问样本容量n应取多大?补充题:1.2.设总体,)1,0(~NX),,,(521XXX是来自X的样本,设,)(25242321XXXXXCY试确定C,使Y具有t分布.24设总体X的期望为,方差为2,若至少要以95%的概率保证,1.0X问样本容量n应取多大?解因n很大时,X近似服从,),(2nN于是1.}1.0{PX1)/1.0(2nΦ,95.0即,975.0)1.0(n,96.11.0n,385n查表得即样本容量至少取385才能满足要求.补充题解答:25设总体,)1,0(~NX),,,(521XXX是来自X的样本,设2.,)(25242321XXXXXCY试确定C,使Y具有t分布.(答案:23C)
本文标题:正态总体的常用抽样分布
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