向量数乘运算及其几何意义(上课优秀课件)

下页上页首页小结结束知识回顾BAbao.O.Ca+bbaABba+ba1.向量加法三角形法则:2.向量加法平行四边形法则:首尾相连首尾接起点相同连对角o.BAa-bab3.向量减法法则:共起点，连终点，方向指向被减数下页上页首页小结结束向量数乘问题的实际背景在物理中：位移与速度的关系：S=vt，力与加速度的关系：F=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，时间、质量都是数量下页上页首页小结结束)()()(aaa-aaCa=3a=3(-a)练习引入。和，作出已知非零向量)()()(aaaaaaaOaAaBOCOBOAOCaaaN-aP-aQ-aMMNQMPQPNa(1)向量的方向与的方向相同,向量的长度是的3倍,即；a3a3aaaa33(2)向量的方向与的方向相反,向量的长度是的3倍,即.)(3a)(3aaaaa33=-3a探究:向量、与在方向与长度上有什么变化？a3)(3aa下页上页首页小结结束当λ0时,λa的方向与a方向相同；当λ0时,λa的方向与a方向相反；|λa|=|λ|·|a|一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。向量的数乘定义它的长度和方向规定如下：(1)长度(2)方向特别地，当λ=0或a=0时,λa=0几何意义：将的长度扩大（或缩小）倍，改变（或不改变）的方向，就得到了λa|λ|aa下页上页首页小结结束结论:2a+2b=2(a+b)结论:3(2a)=6a(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a≠0)，并比较。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。观察总结a)2(3aa6aba2b2ba)(2baba22下页上页首页小结结束①λ(μa)=运算律:设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：②(λ+μ)a=③λ(a+b)=实践出真知(λμ)aλa+μaλa+λb（-λ）a=-(λa)=λ(-a)特别地，λ(a-b)=λa-λb结合律第一分配律第二分配律下页上页首页小结结束（2）对于任意的向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2恒有λ(μ1a±μ2b)=解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=计算：(口答)(1)(-3)×4a(2)3(a+b)–2(a-b)-a(3)(2a+3b-c)–(3a-2b+c)(3-2-1)a+(3+2)b=5b(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c-12aλμ1a±λμ2b牛刀小试结论：（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。下页上页首页小结结束1、如果b=λa,那么，向量a与b是否共线？对于向量a(a≠0)、b，以及实数λ：2、如果a与b共线，那么是否有λ，使b=λa？自主探究对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa,那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。当a与b同方向时，有b=μa;当a与b反方向时，有b=-μa，所以始终有一个实数λ，使b=λa。若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ(μ0)倍，即有|b|=μ|a|,且下页上页首页小结结束向量共线定理:向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b=λa.即：自主探究(1)0,?aa为什么要是非零向量，若上述定理成立吗吗？可以是0)2(b0//aabab下页上页首页小结结束定理应用例1：如图，点C在线段AB上，且AC=5，BC=2,ABC则有（1）AC=______AB;CA=_____AB（2）BC=______AC.变式：如图:ABCD的两条对角线交于点M,且,你能用，表示:bADaAB,baADBMCMB=_____________;MA=_____________;AC=_____________;下页上页首页小结结束AEDCB解：=3AC=3(AB+BC)∵AB+BC=AC=3AB+3BC又AE=AD+DE∴AC与AE共线如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试证明AC与AE共线。摇身一变例2：又AC与AE有公共点A，∴A、C、E三点共线.定理应用变式1：如图，已知AD=3AB、AE=3AC，试证明BC和DE共线。变式2：如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试判断A、C、E三点位置关系?结论：向量共线定理可用来解决:向量共线和三点共线问题。下页上页首页小结结束解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线∴A、B、C三点共线.abbb已知任意两非零向量a、b，试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ba∵AB=OB-OA∴AC=2AB又AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b=a+2b-(a+b)=b又AB与AC有公共点A，能力提升下页上页首页小结结束如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。31ADBCMN提示：设AB=aBC=b则MN=…=a+b6131MC=…=a+b21下页上页首页小结结束,,31bACaABBCBDBCABCD，设边上一点，且中是等于则AD（C）)(31.baA)(31.abB)2(31.baC)2(31.abDNCANbADaAB3,,分析:由所以在平行四边形ABCD中,,M为BC的中点,则等于＿＿＿＿＿＿MN,21,334,3baAMbaACANNCAN）（得bababaMN4141)21()(43ba4141(1)(2)ABCD练习下页上页首页小结结束二、知识应用：1.证明向量共线；2.证明三点共线:一、概念与定理①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线下页上页首页小结结束请同学们完成《精讲精练》！心动不如行动独立作业P919、12、13