向量法求空间距离

立体几何中的向量方法------距离问题一、求点到平面的距离一般方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。还可以用等积法求距离.OdP向量法求点到平面的距离AOdnPsin||APnAPnd||APnn其中为斜向量，为法向量。nAPsindAPsin||APd二、直线到平面的距离AOdnPd||APnn其中为斜向量，为法向量。nAPl三、平面到平面的距离AOdnPd||APnn四、异面直线的距离nabd||APnn?n?AP是与都垂直的向量n,abAP点到平面的距离：直线到平面的距离：平面到平面的距离：异面直线的距离：四种距离的统一向量形式：d||APnnABCD1A1B1C1DExyz(1)求B1到面A1BE的距离；如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：ABCD1A1B1C1DExyz如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：(2)求D1C到面A1BE的距离；ABCD1A1B1C1Dxyz如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：(3)求面A1DB与面D1CB1的距离；ABCD1A1B1C1DExyz如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：(4)求异面直线D1B与A1E的距离.FEB1C1D1DCA练习1：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。BxyzA1练习2：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。B1C1D1DCABxyzA1练习3:已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求直线DA1和AC间的距离。B1C1D1DCABxyzA1小结利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。练习4：如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,∠ACB=900,AA1=,2求B1到平面A1BC的距离。B1A1BC1ACxyz练习5：如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AB=1,AA1=2求B1到平面A1BC的距离。B1A1BC1ACxyzM练习6：已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。GBDACEFxyzSABCNMOxyz练习7：在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点，求：点B到平面CMN的距离.32.)3()2(;)1(的距离到平面求点的大小；求二面角证明：CMNBBCMNSBACABCD1A1B1C1DExyz1111(,,)2AEABnxyzABE=(-1,,0),=(0,21,-1)设为面的法)向量，则110,0,nAEnAB10,20,xyyz2,2,yxzx即11110,1,0,BABEAB选点到面的斜向量为11(1,2,2)xABEn取＝，得平面的一个法向量111123ABnBABEdn得到面的距离为ABCD1A1B1C1DExyzDxyz1解：以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，1)如图所示111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)2DBAE则111,,0,2AE11,1,1DB11(,,),nxyzAEDB设是与都垂直的向量，则110,0,nAEnDB10,20,xyxyz2,3,yxzx即11AEBD得与的距离111414DAndn1(1,2,3)xn取＝，得其中一个11111,0,0,AEBDDA选与的两点向量为