双曲线的复习-精华版

..双曲线1．范围、对称性由标准方程12222byax，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线奎屯王新敞新疆双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心奎屯王新敞新疆2．顶点顶点：0,),0,(21aAaA特殊点：bBbB,0),,0(21实轴：21AA长为2a,a叫做半实轴长奎屯王新敞新疆虚轴：21BB长为2b，b叫做虚半轴长奎屯王新敞新疆2.双曲线的标准方程：12222byax(a＞0，b＞0).12222bxay(a＞0，b＞0).c2＝a2＋b2焦点在x轴上，焦点是F1(－c,0)、F2(c,0).焦点在y轴上，焦点是F1(0,－c)、F2(0,c).双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异奎屯王新敞新疆3．．渐近线经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y＝±b，四条直线围成一个矩形(如图)．两条直线xaby0byax叫做双曲线12222byax的渐近线.12222bxay(a＞0,b＞0)的渐近线为yabx.0bxaya＝b时，实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线.xyQB1B2A1A2NMOyF1F2xOyF1F2xOyF1F2xOyOxA1A2B2B1abyOxA1A2B2B1ab..4．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2e奎屯王新敞新疆等轴双曲线可以设为：)0(22yx，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上奎屯王新敞新疆5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为xaby)0(kxkakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222kkbykax或写成2222byax奎屯王新敞新疆6．补充性质：焦半径：双曲线上任意一点与焦点所连的线段叫做双曲线的焦半径。（利用双曲线的第二定义，我们可以很容易地推导出双曲线的焦半径公式。）7．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的离心率奎屯王新敞新疆范围：1e双曲线形状与e的关系：1122222eacaacabk，因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔奎屯王新敞新疆(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；(2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约奎屯王新敞新疆8．共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线奎屯王新敞新疆如191622yx与116922xy奎屯王新敞新疆注意的区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同奎屯王新敞新疆通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线奎屯王新敞新疆此即为共轭之意奎屯王新敞新疆1）性质：共用一对渐近线奎屯王新敞新疆双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上奎屯王新敞新疆2）确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1奎屯王新敞新疆3）共用同一对渐近线kxy的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为)0(1222kyx，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上奎屯王新敞新疆01exaMF..三、讲解范例：一、求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程12222byax或12222bxay（a、b0），通常是利用双曲线的有关概念及性质再结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法.例1求与双曲线2222yx有公共渐近线，且过点)2,2(M的双曲线的共轭双曲线方程.解令与双曲线1222yx有公共渐近线的双曲线系方程为kyx222，将点)2,2(M代入，得2)2(2222k，∴双曲线方程为12422yx，由共轭双曲线的定义，可得此双曲线的共轭双曲线方程为12422yx.评此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题.一般地，与双曲线12222byax有公共渐近线的双曲线的方程可设为kbyax2222（kR，且k≠0）；有公共焦点的双曲线方程可设为122222akyax，本题用的是待定系数法.二、1、第一定义的应用双曲线的第一定义：已知F1、F2是平面内两个定点，P是动点，当且仅当它们满足条件|PF1|－|PF2|=±2a，正常数2a|F1F2|时，P的轨迹是双曲线.例1设F1、F2为双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=900，求ΔF1PF2的面积.解由双曲线的第一定义知，421PFPF，两边平方，得162212221PFPFPFPF.∵∠F1PF2=900，∴202212221FFPFPF，∴221622121PFPFPFPF，∴1212121PFPFSPFF.2、第二定义的应用双曲线的第二定义：设F为定点，l是定直线，P是动点，P、F及l共面，当且仅当它们满足条件距离到是是常数ePdeeedPF,)1(||时，P的轨迹是双曲线.【例1】已知双曲线2222byax=1的离心率e1+2，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?..【解前点津】从假设存在这样的P点入手，推出某种结果，然后“检验”这种结果.【规范解答】设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|·d，由双曲线第二定义得：,||||||121ePFPFdPF即|PF2|=e·|PF1|①又由双曲线的第一定义得：|PF2|－|PF1|=2a②从①②中解得：|PF1|=12ea，|PF2|=12eae，因△PF1F2中有|PF1|+|PF2|≥2c，∴1212eaeea≥2c③而e=ac，故由③得：e2－2e－1≤0解之：1－2≤e≤1+2，∵e1，∴1e≤1+2这与e1+2相矛盾，∴符合条件的P不存在.【解后归纳】对于一般的探索命题，常从假设存在入手，利用定理和题设条件加以推理，若推出矛盾，则假设不成立，否则，假设的命题成立.例2：如果双曲线2216436xy上一点P到双曲线右准线的距离d等于8，求点P到右焦点F的距离|PF|。:648,366,643610||||10,,||1088abcPFcPFPFda解即点P到右焦点F的距离|PF|为10。如上题如何求P到左焦点F′的距离|PF′|？解：||PF′|－|PF||=2a，∴||PF′|－10=16，∴|PF′|=26例3：已知点A（5，3），F（2，0），在双曲线2213yx上求一点P，使1||||2PAPF的值最小。解：∵a=1，b=3，∴c=2，e=2ca，设点P到与焦点（2，0）相应的准线的距离为d，则||12,||2PFPFdd即在双曲线上求点P，使P到定点A的距离与到准线的距离和最小，显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的右支上，此时P点纵坐标为3，∴所求的点为P（2，3）。三、双曲线性质的应用例1设双曲线12222byax（ba0）的半焦距为c，直线l过（a，0）、（0，b）两点，已知原点到l的距离为c43，求双曲线的离心率...解析这里求双曲线的离心率即求ac，是个几何问题，怎么把题目中的条件与之联系起来呢？∵aOA，bOB，cAB，由面积法知ab=24343ccc，考虑到222cba，知4222163)(caca即421631ee，亦即01616324ee，注意到ab的条件，可求得2e.四、与双曲线有关的轨迹问题例1以动点P为圆心的圆与⊙A：49)5(22yx及⊙B：1)5(22yx都外切，求点P的轨迹方程.解设动点P（x，y），动圆半径为r，由题意知，rPA7，rPB1.∴6PBPA.∴)0,5(A，)0,5(B，据双曲线的定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，方程为：)0(116922xyx.例2如图2，从双曲线122yx上任一点Q引直线2yx的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.解析因点P随Q的运动而运动，而点Q在已知双曲线上，故可从寻求Q点的坐标与P点的坐标之间的关系入手，用转移法达到目的.设动点P的坐标为),(yx，点Q的坐标为),(11yx，则N点的坐标为)2,2(11yyxx.∵点N在直线2yx上，∴22211yyxx……①又∵PQ垂直于直线2yx，∴111xxyy，即011xyyx……②联立①、②解得123211212311yxyyxx.又∵点N),(11yx在双曲线122yx上，∴12121yx，即1)12321()12123(22yxyx，化简，得点P的轨迹方程为：01222222yxyx.Q2yxPN图2..五、与双曲线有关的综合题【例1】是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由.(1)渐近线方程为x±2y=0(2)点A(5，0)到双曲线上动点P的距离的最小值为6.【解前点津】讨论焦点所在位置，从而确定双曲线方程形式，对条件(2)，转化为求函数最值问题.【规范解答】假设存在同时满足题中两条件的双曲线.(1)若双曲线焦点在x轴上，可设双曲线方程为12222byax，因渐近线为y=±xabx21，∴ab21，双曲线方程可化为：22224bybx=1.设动点P的坐标为(x，y)，则|AP|=22225)4(45)5(bxyx(x≥2b或x≤－2b).由条件②，若2b≤4即b≤2，则当x=4时，|AP|min=16522bb，这是不可能的.若2b4即b2时，则当x=2b时，|AP|min=|2b－5|=6，解之b=265(其中2652应舍去).此时存在双曲线方程为：1265)65(2222yx(2)若双曲线焦点在y轴上，可设双曲线方程为22224bxby=1(x∈R)，∴|AP|=5)4(4522bx，∵x∈R，∴当x=4时，|AP|min=652b，∴b2=1，此时存在双曲线方程为y2－42x=1.【解后归纳】给出双曲线的渐近线，并不能确定焦点的方位，故要讨论双曲线的两种形式.【例2】已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10).(1)求双曲线方程；..(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积.【解前点津】因e=2，所以c2=2a2=a2+b2a2=b2，故双曲线方程为等轴双曲线，因焦点位置没有确定，故可设双曲线方程为x2－y2=λ(λ≠0).【规范解答】(1)∵e=2，∴c2=2a2=a2+b2a2=b2，∴双曲线方程可设为：x2－y2=λ，∵点(4，－10)在双曲线上，∴16－10=λ，即λ=6，故双曲线方程为：x2－y2=6.(2)由(1)知：F1(－23，0)，F2(23，0)，∴3129,323,323222121mmkkmkmkMFMFMFMF，∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2=6，m2=3，故21MFMFkk=－1，∴MF1⊥MF2.(3)△F1MF2的底|F1F2|=43，F1F2的高h=|m|=3，∴S21MFF=6.【解后归纳】中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线方程的统一形式可设为m·x2+n·y2=1(mn0).（六）点差法的运用ABPBAyx是线段且两点相交于的直线与双曲线、过点例,,44)1,8(P122的中点,求直线AB的方程.解,44,44),(),,(,222