2012届高三数学最新复习课件：数列的综合应用(共56张PPT)

§5.5数列的综合应用§5.5数列的综合应用考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果____________的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的___是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．增加(或减少)比(3)递推数列模型：如果题目中给出的是前后两项之间的关系不固定，是随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．(4)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b＝r1＋rn1＋rn－1a.思考感悟银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型．课前热身1．(2009年高考四川卷)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是()A．90B．100C．145D．190答案：B2．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1，且公差d0，公比q1，则集合{n|an＝bn}(n∈N＋)的元素的个数最多为()A．1B．2C．3D．4答案：B3．(教材改编题)电子计算机中使用的二进制与十进制的换算关系如下表所示：十进制12345678…二进制110111001011101111000…观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制数，当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是()A．31B．63C．111111D．999999答案：B4．已知三个数a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像与x轴公共点的个数为________．答案：05．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，2008年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%，以后四年年生产量的增长率逐年递增2%(2009年的增长率为36%)，则预算2012年全球太阳电池的年生产量为________．答案：2499.8兆瓦考点探究•挑战高考考点突破等差、等比数列的综合问题等差数列与等比数列结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．例1(2010年高考陕西卷)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列{2an}的前n项和Sn.【思路点拨】由已知条件列方程可求得等差数列的公差d，由等比数列的前n项和公式可求Sn.【解】(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，解得d＝1，d＝0(舍去)，故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2n1－2＝2n＋1－2.【名师点评】解决等差数列与等比数列的综合问题的关键在于综合运用等差数列和等比数列知识解题，也就是涉及哪个数列问题就灵活地运用相关知识解决．等差数列与等比数列之间是可以相互转化的．即{an}为等差数列⇒{aan}(a0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列⇒{logaan}(a0且a≠1)为等差数列．变式训练1(2010年高考重庆卷)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.解：(1)因为{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21.Sn＝19n＋nn－12·(－2)＝－n2＋20n.(2)由题意知bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21.Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋3n－12.等差、等比数列的实际应用与数列有关的应用题大致有三类：一是有关等差数列的应用题；二是有关等比数列的应用题；三是有关递推数列中可化成等差、等比数列的问题．当然，还包括几类问题的综合应用．其中第一类问题在内容上比较简单，建立等差数列模型后，问题常常转化成整式或整式不等式处理，很容易计算．对第二类问题，建立等比数列的模型后，弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按照要求保留一定的精确度．注意答案要符合题设中实际需要．对于第三类问题，要掌握将线性递推数列化成等比数列求解的方法．例2(2010年高考湖北卷)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)【思路点拨】可逐年写出第一年末至第五年末的住房面积，然后列方程解出b.【解】(1)第一年末的住房面积为a·1110－b＝1.1a－b(m2)，第二年末的住房面积为(a·1110－b)·1110－b＝a·(1110)2－b(1＋1110)＝1.21a－2.1b(m2)．(2)第三年末的住房面积为[a·(1110)2－b(1＋1110)]1110－b＝a·(1110)3－b[1＋1110＋(1110)2]，第四年末的住房面积为a·(1110)4－b[1＋1110＋(1110)2＋(1110)3]，第五年末的住房面积为a·(1110)5－b[1＋1110＋(1110)2＋(1110)3＋(1110)4]＝1.15a－1－1.151－1.1b＝1.6a－6b.依题意可知，1.6a－6b＝1.3a，解得b＝a20，所以每年拆除的旧住房面积为a20(m2)．【规律小结】用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．变式训练2职工小张年初向银行贷款2万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金)．若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始还款，那么每年应还多少元？(精确到1元)解：设每年还款x元，需10年还清，那么每年所还款及利息的情况如下：第10年还款x元，此次欠款全部还清；第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所还款连同利息之和为x(1＋10%)元；第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所还款连同利息之和为x(1＋10%)2元；……第1年还款x元，过9年欠款全部还清时，所还款连同利息之和为x(1＋10%)9元．根据题意可得x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9＝20000(1＋10%)10，所以x＝20000×1.110×0.11.110－1≈3255.所以每年应还款3255元．数列与解析几何、不等式、函数的交汇问题数列与其它知识的综合问题主要指的是用几何方法或函数的解析式构造数列，用函数或方程的方法研究数列问题．函数与数列的综合问题主要有以下两类：一是已知函数的条件，利用函数的性质图像研究数列问题，如恒成立，最值问题等；二是已知数列条件，利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式子化简变形，从而解决函数问题．例3(2010年高考安徽卷)设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y＝33x相切．对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn＋1相互外切，以rn表示圆Cn的半径，已知{rn}为递增数列．(1)证明：{rn}为等比数列；(2)设r1＝1，求数列{nrn}的前n项和．【思路点拨】(1)充分利用切线、半径、原点与圆心的连线所构成的直角三角形可证{rn}为等比数列．(2)利用错位相减法求和．【解】(1)证明：将直线y＝33x的倾斜角记为θ，则有tanθ＝33，sinθ＝12.设Cn的圆心坐标为(λn,0)，则由题意知rnλn＝12，得λn＝2rn；同理λn＋1＝2rn＋1，从而λn＋1＝λn＋rn＋rn＋1＝2rn＋1，将λn＝2rn代入，解得rn＋1＝3rn.故{rn}为公比q＝3的等比数列．(2)由于r1＝1，q＝3，故rn＝3n－1，从而nrn＝n·31－n，记Sn＝1r1＋2r2＋…＋nrn，则有Sn＝1＋2×3－1＋3×3－2＋…＋n×31－n，①Sn3＝1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n＋n×3－n.②①②两式相减，得2Sn3＝1＋3－1＋3－2＋…＋31－n－n·3－n＝1－3－n23－n·3－n＝32－(n＋32)·3－n.∴Sn＝94－12(n＋32)·31－n＝9－2n＋3·31－n4.【名师点评】数列、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者密切综合在一起，强强联合命制大型综合题是历年高考的热点和重点．数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景的数列的综合问题，体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选．数列中的探索性问题探索性问题往往需要由给定的条件去探究相应的结论或由问题的结论去寻找相应的条件，在解题时应透过问题的表象去寻求、发现规律性的东西．例4(2009年高考四川卷)设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立，记bn＝4＋an1－an(n∈N＋)．(1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rk≥4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；(3)记cn＝b2n－b2n－1(n∈N＋)，设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n，都有Tn32.【思路点拨】本题第(1)问中数列{an}的通项公式由an＝5Sn＋1推出，再代入bn＝可得数列{bn}的通项公式；第(2)问中，由bn的通项公式知，对{bn}的前n项和Rn求和，应对n分奇、偶讨论，与4k比较大小，可先从特值探索；第(3)问中，应考虑适度放缩，才能顺利求和．【解】(1)当n＝1时，a1＝5a1＋1，∴a1＝－14.又∵an＝5Sn＋1，an＋1＝5Sn＋1＋1.∴an＋1－an＝5an＋1，即an＋1＝－14an.∴数列{an}成等比数列，其首项a1＝－14，公比q＝－14.∴an＝(－14)n.∴bn＝4＋－14n1－－14n.(2)不存在正整数k，使得Rk≥4k成立．下面证明：对任意的正整数n，都有Rn4n成立．由(1)知bn＝4＋5－4n－1.∵b2k－1＋b2k＝8＋5－42k－1－1＋5－42k－1＝8＋516k－1－2016k＋4＝8－15×16k－4016k－116k＋48.∴当n为偶数时，设n＝2m(m∈N＋)．则Rn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2m－1＋b2m)8m＝4n；当n为奇数时，设n＝2m－1(m∈N＋)，则Rn＝(b1＋b2