数学建模论文足球比赛问题

D题:足球比赛问题目录一．摘要2二．问题的提出2三．问题的分析3四．模型设计及算法3五．分析及模型求解模型51一．摘要本文主要以12支甲B球队前四名晋级甲A问题为研究对象，讨论武汉雅琪队是否一定能提前三轮晋级甲A。本文主要运用了层次分析法建立了一个数学模型，其主要是一个算法。现通过分析得出武汉雅琪队在最坏的情况下（剩余三场全负）一定可以提前三轮晋级甲A，即一定在前四名，这种方法只能确定武汉雅琪队一定能晋级甲A，只是不知道名次，所以本文又对模型进行了假设，在假定的前提下，能够通过模型的具体分析，把武汉雅琪队在最后的三场比赛结束后最坏的几种可能情况列举出来，从而进一步分析武汉雅琪是否一定可以提前三轮晋级甲A.二．问题的提出中国足球甲级队比赛，分成甲A和甲B两组进行主客场双循环制，1997年足协决定：12支甲B球队的前四名将升入甲A，球队排序的原则如下：（1）胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分；（2）球队的名次按积分多少排序，积分高的队排名在前；（3）积分相同的球队，按净胜球的多少排序，净胜球（踢进球数减被踢入球数）多的队排名在前；（4）若积分相同、净胜球数也相同，则按进球数排序，踢进球总数多的队排名在前.以下是甲B联赛（共赛22轮）第19轮后的形势：队名胜平负得失球积分队名胜平负得失球积分武汉雅琪106329/1836佛山佛斯弟82926/2826深圳平安95534/2732辽宁双星74820/1925深圳金鹏85632/3829上海浦东74828/2325河南建业85620/1829上海豫园65823/2923广州松日77527/1928天津万科57722/2322沈阳海狮77528/2328火车头杉杉231414/4892还剩三轮，对阵表如下：上海浦东——深圳平安广州松日——河南建业杉杉——广州松日深圳平安——辽宁双星河南建业——上海浦东广州松日—天津—万科深圳平安——沈阳海狮上海豫园——河南建业辽宁双星——天津万科深圳金鹏——上海豫园武汉雅琪——佛斯第沈阳海狮——杉杉沈阳海狮——深圳金鹏天津万科——佛斯第上海豫园——武汉雅琪辽宁双星——深圳金鹏佛斯第——杉杉武汉雅琪——上海浦东试问：武汉雅琪队是否一定可以提前三轮晋升甲A？说明理由.三．问题的分析题目给出的是12支甲B球队前19轮的比赛结果，还剩三轮比赛。要求建立数学模型，分析武汉雅琪是否一定可以提前三轮晋级甲A。从结果可以看出，武汉雅琪在前19轮比赛中排名第一，按照规定，前四名可以晋级甲A。考虑武汉雅琪是否一定可以提前三轮晋级甲A，如果武汉雅琪在最坏的情况下，也就是在剩余三轮比赛全输的情况下能晋级甲A，则说明武汉雅琪一定可以提前三轮晋级甲A，否则的话，则说明武汉雅琪不一定可以提前三轮晋级甲A。因为武汉雅琪队在剩余三轮比赛全输的情况下积分为36分，所以只有在剩余三轮比赛中积分可能达到36分的球队才有可能超过武汉雅琪队，而目前积分低于27分的球队即使剩余三场全胜其成绩积分也不可能达到36分，即该球队一定不能超过武汉雅琪队。所以只需考虑目前积分大于或等于27分的球队，即前六名的球队，第一步确定出前六名球队中是否有两支球队的积分不可能达到36分，如果有就可以确定武汉雅琪一定可以提前三轮晋级甲A。如果前六名球队中有四名球队的最总积分超过了36分，则说明武汉雅琪不一定可以提前三轮晋级甲A，如果前六名球队中至少有两名球队的最终积分也是36分，这种情况下，要进行第二步，比较这些积分全是36分的球队的净胜球数，如果积分大于36分的球队数和积分等于36分而净胜球数大于武汉雅琪队的净胜球数的球队数小于四支，则说明武汉雅琪一定可以提前三轮晋级甲A；如果积分大于36分的球队数和积分等于36分而净胜球数大于武汉雅琪队的净胜球数的球队数大于四支，则说明武汉雅琪不一定可以提前三轮晋级甲A；如果积分大于36分的球队数和积分等于36分而净胜球数大于武汉雅琪队的净胜球数的球队数等于四支，这种情况下，要进行第三步，比较净胜球数和武汉雅琪相同的球队的进球数，如果积分大于36分的球队数和积分等于36分而净胜球数等于武汉雅琪队的净胜球数的球队数及进球数大于武汉雅琪队的球队的支数之和小于四支，则说明武汉雅琪一定可以提前三轮晋级甲A；否则的话，则说明武汉雅琪不一定可以提前三轮晋级甲A。3xxxxxxXx11xx1X1四模型设计及算法一、基本假设及符号说明假设一在最后三轮比赛中武汉雅琪队全负，这种假设保证了武汉雅琪队是否一定可以提前三轮晋升甲A。假设二在最后三轮比赛中一球定输赢，平局时，双方均不得分。符号说明xi表示第i队在第十九轮比赛后的积分，xxxiii,,321分别表示第i队在最后三轮比赛中胜、平、负的场数，n表示比赛结束后积分有可能大于武汉雅琪队的球队的支数。用直线相连的两队之间要进行比赛。二、模型的设计与算法我们模型的主要部分是一个算法，还涉及到一些图。算法最后三场中各队之间的比赛安排情况如图所示x1x2x3x4x5x7x8x11x9x10x12注：x1武汉雅琪；x2深圳平安；x3深圳金鹏；x4河南建业；x5广州松日；x6沈阳海狮；x7佛山佛斯弟；x8辽宁双星；x9上海浦东；x10上海豫园；x11天津万科；x12火车头杉杉将问题提出中，第十九轮比赛后的排名，球队依次为第i队，i=1、2、3……12xxxiii21336；xxxiii,,3210；x64xxxiii,,321=3；xxxiii321=3；若x31=3，则x61=2；若x31=2、x32=1，则x61=2；若x61=3，则x31=2；若x41=3，则x51=2；若x41=2、x42=1，则x51=2；若x51=3，则x41=2；通过问题提出中所给的数据、比赛安排及以上算法可以算出n的最大值，若n值大于等于4，则说明武汉雅琪队不一定能提前三轮晋升甲A，若n的值小于4，则说明武汉雅琪队一定能提前晋升甲A。五分析及模型求解一、算法理论分析本题要判断武汉雅琪队是否一定能提前三轮晋升甲A，因为只有前四名才能晋升甲A，所以只要能判断出在假设的前提下，比赛结束后积分有可能超过不小于武汉雅琪队球队有几支即可。由于胜一场积三分，平一场积一分，负一场积零分，所以对于第i队在比完最后的三轮后积分增加)(213xxii，最终总积分为（xi+xxii213）。由于比赛三场，所以xxxiii321=3，x31、x41、x51、x61分别表示深圳金鹏队、河南建业队、广州松日队、沈阳海狮队在三场比赛中胜的场数，x32与x42分别表示深圳金鹏队和河南建业队在三场比赛中平的场数，由于深圳金鹏队和沈阳海狮队之间有一场比赛，。河南建业队和广州松日队之间有一场比赛，所以当深圳金鹏队胜三场或两胜一平即x31=3或x31=2、x32=1时，沈阳海狮队最多胜两场即x61=2；同理当x61=3时有x31=2；当河南建业队胜三场或两胜一平即x41=3或x41=2、x42=1时，广州松日队最多胜两场即x51=2；同理当x51=3时有x41=2。由于max)(x127：x=26，所以就算这些队在最后的三场比赛中全胜他们的最后5积分才到35，所以只有前六支球队有可能超过武汉雅琪队。由于x2=32，所以深圳平安队只要胜两场或胜一场、平一场就可以超过武汉雅琪队。由于x3=x4=29，所以深圳金鹏队和河南建业队在最后的三场比赛中至少胜两场、平一场或三场全胜才有可能使最终的排名超过武汉雅琪队，在这种情况下，分别和他们比赛的沈阳海狮队和广州松日队的最好战绩是两胜一平或两胜一负，前一种情况下，沈阳海狮队和广州松日队的最终积分是35，后一种情况下，沈阳海狮队和广州松日队的最终积分是34，不管哪一种情况这两支球队都不可能超过武汉雅琪队；由于x5=x6=28，所以广州松日队和沈阳海狮队在最后的三场比赛中三场必须全胜才能使最终的排名超过武汉雅琪队，此时分别和他们比赛的深圳金鹏队和河南建业队的最好战绩是两胜一负，这种情况下，深圳金鹏队和河南建业队的最终积分为35，此时，这两支球队都不可能超过武汉雅琪队。通过以上的分析，我们可以知道深圳金鹏队、河南建业队、沈阳海狮队和广州松日队这四支球队中，最多有两支球队的最终积分有可能超过武汉雅琪队。模型运行结果分析通过对算法的分析可知，武汉雅琪队刚好能晋升甲A的最坏情况有四种。情况一：深圳平安队、深圳金鹏队、河南建业队和武汉雅琪队；胜的场数平的场数负的场数总积分净胜球数总进球数（1）深圳平安300411037深圳金鹏30038941河南建业30038523武汉雅琪00336829（2）深圳平安300411037河南建业30038523深圳金鹏21036840武汉雅琪00336829（3）深圳平安21039936深圳金鹏30038941河南建业30038523武汉雅琪00336829（4）深圳平安21039936河南建业30038523深圳金鹏21036840武汉雅琪00336829（5）深圳金鹏30038941深圳平安20138836河南建业30038523比赛情况一队名可能情况6武汉雅琪00336829（6）深圳平安20138836河南建业30038523深圳金鹏21036840武汉雅琪00336829情况二：深圳平安队、沈阳海狮队、广州松日队和武汉雅琪队；胜的场数平的场数负的场数总积分净胜球数总进球数（1）深圳平安300411037广州松日300371130沈阳海狮30037831武汉雅琪00336829（2）深圳平安21039936广州松日300371130沈阳海狮30037831武汉雅琪00336829（3）深圳平安20138836广州松日300371130沈阳海狮30037831武汉雅琪00336829情况三：深圳平安队、深圳金鹏队、广州松日队和武汉雅琪队；胜的场数平的场数负的场数总积分净胜球数总进球数（1）深圳平安300411037深圳金鹏30038941广州松日300371130武汉雅琪00336829（2）深圳平安300411037广州松日300371130深圳金鹏21036840武汉雅琪00336829（3）深圳平安21039936深圳金鹏30038941广州松日300371130武汉雅琪00336829（4）深圳平安21039936广州松日300371130深圳金鹏21036840比赛情况一队名可能情况比赛情况一队名可能情况7武汉雅琪00336829（5）深圳金鹏30038941深圳平安20138836广州松日300371130武汉雅琪00336829（6）深圳平安20138836广州松日300371130深圳金鹏21036840武汉雅琪00336829情况四：深圳平安队、河南建业队、沈阳海狮队和武汉雅琪队；胜的场数平的场数负的场数总积分净胜球数总进球数（1）深圳平安300411037河南建业30038523沈阳海狮30037831武汉雅琪00336829（2）深圳平安21039936河南建业30038523沈阳海狮30037831武汉雅琪00336829（3）深圳平安20138836河南建业30038523沈阳海狮30037831武汉雅琪00336829由于以上四种情况是武汉雅琪队刚好能晋升甲A的最坏情况，所以在其他情况下武汉雅琪队一定也能晋升甲A，因此n的最大值为3，即武汉雅琪队一定可以提前三轮晋升甲A。比赛情况一队名可能情况