二次函数的图像与性质

（一）二次函数的概念1．一般地，形如（a、b、c是常数，且）的函数，叫做二次函数。2yaxbxc0aa0xy0（二）二次函数的几种基本形式（1）的图像及性质2yax由以上图形知：•a的绝对值越大，抛物线的开口越小•函数图象顶点坐标（0,0）（2）的图像及性质•函数图象顶点坐标（0,c）•注意：c为y轴截距2yaxccxy0（3）的图像及性质2yaxhk（4）一般式的图像及性质1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为.当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，有最小值．1.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为.当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当时，有最小值．2424bacbaa，2bxa2yaxbxc2bxa2bxa244acba2bxa2424bacbaa，2bxa2bxa2bxa2bxa244acba（三）二次函数图像的对称•二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用顶点式讨论1.关于x轴对称后，得到的解析式是2.关于y轴对称后，得到的解析式是3.关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk2yaxhk2yaxhk2yaxhk4.关于顶点对称后，得到5.（m关于，n）对称后，得到的解析式是222yaxhmnk2yaxhk（四）二次函数与一元二次方程•1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.•图象与轴的交点个数：①当时，图象与x轴交于两点，，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离240bac1200AxBx，，，12()xx12xx，200axbxca2214bacABxxa②当时，图象与x轴只有一个交点；③当时，图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．2.抛物线的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)；001'2'2yaxbxc练习例1（1）二次函数的图像如图，则点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2yaxbxc（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点（x1x2），交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB．(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由．(1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)，则x1·x2=30，又∵x1x2，∴x2O，x1O，∵30A=OB，∴x2=-3x1．∴x1·x2=-3x12=-3．∴x12=1.x10，∴x1=-1．∴．x2=3．∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2b=3∴．二次函数的解析式为y-2x2-4x-6．(2)存在点M使∠MC0∠ACO解：点A关于y轴的对称点A’(1，O)，∴直线A，C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)．∴符合题意的x的范围为-1x0或Ox5．当点M的横坐标满足-1xO或Ox5时，∠MCO∠ACO．