随机过程_2[1].3_

目录2.1概率空间与随机变量2.2随机变量的数字特征2.3随机向量及其联合分布2.4条件数学期望2.5矩母函数和特征函数2.3随机向量及其联合分布2.3.1n维随机向量2.3.2二维离散型随机向量2.3.3连续型随机向量2.3.4随机向量的数字特征2.3.5独立与相关一、n维随机向量的定义上，设在概率空间PF,,niXXii，，，21个随机变量．是n则称nnXXXXXX，，，，，，2121维随机向量．为该概率空间上的n2.3.1n维随机向量2.3.1n维随机向量二、n维随机向量的分布函数，，，，维实数组意一维随机向量，则对于任是一个，，，设nnxxxnnXXX2121维随机向量我们称此函数为nnXXX，，，21nxxxF，，，21nnxXxXxXP，，，2211.的分布函数2.3.2二维离散型随机向量一、二维离散型随机向量．为二维离散型随机向量，个数对，则称无穷的取值是有限个或可列，若二维随机向量YXYX二维离散型随机向量，，设YX，，，，的取值为ixxxX21，，，，的取值为jyyyY21，，，，则称21jiyYxXPpjiij分布律．联合的，为二维离散型随机向量)(YX1）定义：2）二维离散型随机变量的联合分布律下表表示的联合分布律也可以由，YXYX1y2y…jy…1x11p12p…jp1…2x21p22p…jp2…ix1ipijp…2.3.2二维离散型随机向量3）二维离散型随机变量联合分布律的性质：性质10jiijyYxXPp，有1jiijp，：性质2，，，，，对任意的21jiji2.3.2二维离散型随机向量二、边缘分布函数是一个二维随机变量，，如果YX边缘分布也称为边沿分布或边际分布．1）边缘分布的定义：YXYX或者的分布为或者称的边缘分布．，关于二维随机变量YX2.3.2二维离散型随机向量2）求边缘分布律的联合分布律为，随机变量YX,jiijyYxXPp，})(,{jjiyYxXP)},({jijyYxXP，，，21ji，，21i，，21jjijp的分布律为：同理，随机变量Yiijp的分布律：现求随机变量XiixXPp.jjiyYxXP,jjyYPp.ijiyYxXP,2.3.2二维离散型随机向量下表表示的边缘分布律也可以由以及YXYX1y2y…jy…ip1x11p12p…jp1…1p2x21p22p…jp2…2pix1ip2ip…ijp…ipjp1p2p…jp…2.3.2二维离散型随机向量1111),,(...),,(xxnnnnduduuufxxF一、n维连续型随机向量2.3.3连续型随机向量有，使得，上非负可积函数如果存在的分布函数维随机向量对于,,,,,,,,,,,,,,21212121nnnnnnRxxxuuufRxxxFXXXn.,,,,,,,2121为联合概率密度函数为连续型随机向量则称nnuuufXXX1)定义：2)概率密度的性质：;0,,,1210nuuuf;1),...,(...,,...2110Fduduuufnn连续，则有在点若),,(),,(3110nnuuuufnnGnduduuufGXXXP1121),,(,,,).,,(),,(111nnnnuufuuuuF内的概率为：落在点平面上的一个区域，是设GXXXRnn,,,G42102.3.3连续型随机向量3）二元分布函数的几何意义yo(x,y)(X,Y)中的概率．为右上顶点的无穷矩形，以落在，表示平面上的随机点，yxYXyxF2.3.3连续型随机向量x4）分布函数具有以下的基本性质：（1）F(x,y)是变量x,y的不减函数，即对于任意固定的y,当x1x2时，);,(),(21yxFyxF);,(),(21yxFyxF对于任意固定的y,;0),(yF;0),(xF.1),(;0),(FF,1),(0)2(yxF且对于任意固定的x,当y1y2时，对于任意固定的x,2.3.3连续型随机向量(3)F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续.yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1).0),(),(),(),()4(11211222yxFyxFyxFyxF2.3.3连续型随机向量二、边缘密度函数的边缘密度函数为：则随机变量的联合密度函数为knnXxxfXX),,,(,,11nkknnkXdxdxdxdxxxfxfk11111),,(1）已知概率密度函数求边缘密度函数2.3.3连续型随机向量，，的分布函数为，设二维随机变量yxFYX2）已知联合分布函数求边缘分布函数xXPxFXYxXP，，xFyYPyFYyYXP，yF，则分量X的分布函数为则分量Y的分布函数为2.3.3连续型随机向量22222121212122212121exp121yyxrxrryxf，rNYX，，，，，设二维随机变量222121~的边缘密度函数．及试求YX解：的联合密度函数为，YX3）例子2.3.3连续型随机向量dyyxfxfX,22222121212122121yyxrxr21212112222121xxryr2.3.3连续型随机向量进行配方，得对中，在yyyxrxr22222121212122121dyxryrerxfxX2112222221121exp12121211122211xryru作变换，令221rdydu则，所以，2.3.3连续型随机向量dueexfuxX221221212121212121xex211~，这表明，NX同理有yeyfyY22222221222~，这表明，NY2.3.3连续型随机向量结论1:布是一维正态分布．二维正态分布的边缘分.~222，NY,~211，NX则有，结论2:无关．布中的参数的参数与二维正态分上述的两个边缘分布中r我们有以下几条结论：通过本例,,~222121rNYX，，，，，即若2.3.3连续型随机向量三、连续型随机变量和的分布，，数为，其联合密度函是二维连续型随机变量，设yxfYX，令：YXZ．的密度函数下面计算随机变量zfYXZZ．的分布函数首先计算随机变量zFYXZZzZPzFZzYXPzyxdxdyyxf，xyOxzdyyxfdx，2.3.3连续型随机向量,xuy作变换：则有zZduxuxfdxzF，dxxuxfduz，xzzdyyxfdxzF，)(的密度函数为导，可得求之间的关系，上式对由分布函数与密度函数YXZzzFzfZZdxxzxf，2.3.3连续型随机向量由于X,Y的对称性可得dyyyzfzfZ，相互独立，则有与特别地，如果随机变量YX.yfxfyxfYX，此时，我们有dxxzfxfzfYXZ或者dyyfyzfzfYXZ2.3.3连续型随机向量的卷积，记作与我们称上式为函数yfxfYXyfxfYX*：因此，我们有以下结论卷积：密度函数的与的密度函数等于相互独立，则它们的和与如果随机变量YXYXZYXyfxfzfYXZ*dxxzfxfzfYXZdyyfyzfzfYXZ2.3.3连续型随机向量2.3.4随机向量的数字特征一、期望nXnEXEXEXXXXXn,,,,,,,2121其期望定义为：维随机向量对于之间的相互联系？何衡量中心值的程度，那么如偏离其反映了的均值，而反映了kkkkkXXXXEXVar二、协方差称Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY为随机变量X,Y的协方差.Cov(X,X)=DX1）协方差的定义2）协方差矩阵.,,,,,,21、非负定矩阵所以协方差矩阵为对称协方差矩阵：维随机向量nnjinnnXXCovXXXn2.3.4随机向量的数字特征1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)2)Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；3)Cov(aX+bY,cZ)=acCov(X,Z)+bcCov(Y,Z);)(1niiiXaDnjijijiniiiXXCovaaDXa112),(2),(222YXabCovDYbDXa)()4bYaXD3）协方差的性质2.3.4随机向量的数字特征DYDXYXCovXY),(称为随机变量X,Y的相关系数。XY是一个无量纲的量；1）相关系数的定义三、相关系数由性质2)发现，协方差数值反映了随机变量X和Y相互间的关系，但是它受到随机变量本身数值大小的影响,YXCovkkYkXCov,,2因此，将协方差规范化：2.3.4随机向量的数字特征.110XY.1,.1}{,120线性相关以概率使存在常数YXbXaYPbaXY2）相关系数的性质.,030不相关YXXYDXDYEYYEEXXEEYYEXXE2221,1XY证明：2.3.4随机向量的数字特征说明程度的量．之间线性关系紧密与相关系数是表征随机变量YX存在着线性关系；之间以概率与1YX之间的线性关系越弱；与YX时，越接近于当0XY时，当1XY时，当0XY(不相关).之间不存在线性关系与YX2.3.4随机向量的数字特征n维正态随机向量满足：的概率密度函数为其逆矩阵，若维随机向量，为xfXRxXXCovEXEXnXXXXnnnjinn,,,,,,,,111TnXxxxf121221expdet21.,,1维正态随机向量为则称nXXXn2.3.4随机向量的数字特征22222121212122212121exp121,yyxrxrryxfTnXxxxf121221expdet212.3.4随机向量的数字特征2.3.5独立与相关一、随机变量的独立性．的分布函数为