随机过程方兆本12条件期望和矩母函数(精)

§1.2条件期望和矩母函数对于离散型随机变量X和Y.一般,对所有使P{Y=y}0的y,定义给定Y=y时X取x的条件概率为}{},{}|{yYPyYxXPyYxXP而给定Y=y,X的条件分布函数为}|{)|(yYxXPyxF给定Y=y,X的条件期望为xyYxXxPyYxE}|{)|(对于一般的连续型随机变量Y.由于P{Y=y}往往为0,则给定Y=y时X的条件概率定义为:①若对任何包含y的小区间y总有P(Yy)=0,则定义为P(XA|Y=y)=0;②若P(Yy)0,则定义为这里y0的意思是使包含y的小区间的长度缩小为0.除了个别例外的y值这一极限总是存在的.}|{lim}|{0yYAXPyYAXPy而给定Y=y,X的条件分布函数为}|{lim)|()|(0yYxXPyYxXPyxFyd如果存在一非负函数f(x|y)使得对任何集合A恒有且则f(x|y)称为在给定Y=y时X的条件密度.AdxyxfyYAXP)|()|(1)|(dxyxf显然有xdsysfyxF)|()|(dxyxfxyYXE)|()|(条件期望通常统一记为)|()|(yxdFxyYXE注:E(X|Y=y)表示一个数值;E(X|Y)表示随机变量.例1.8袋子中有3个相同的球,分别标号为1,2,3.现从中随机地取出一个球,记下标号(假设标号为k)后放回,同时从袋子中去掉标号为1,…,k-1的球.然后再随机地取一球记下标号.分别用X和Y表示两次取球记下的标号,则31)1|1(XYP31)1|2(XYP31)1|3(XYP2313312311)1|(XYE5.2213212)2|(XYE313)3|(XYEE(Y|X)22.53Pr1/31/31/3例1.9扔一硬币出现正面的概率为p,独立地做投币试验.记S为n次试验中出现正面的次数,并设首次出现正面是在第T次试验.求给定n次试验中仅出现了一次正面时变量T的条件概率分布,也即P(T=k|S=1).解:1)1(),1(nppkTSP11)1()1(nnppCSPnSPkTSPSkTP1)1(},1{)1|(所以命题1.1①若X与Y独立,则E(X|Y=y)=E(X);②条件期望的平滑性③对随机变量X,Y的函数(X,Y),有]|),([]|),([yYyXEyYYXE)()()|()]|([XEydFyYXEYXEEY证明:③假设(X,Y)为离散型随机变量,则ijjijiyYyYxXPyxyYYXE)|,(),(]|),([iiiyYyYxXPyx)|,(),(iiiyYxXPyx)|(),(]|),([yYyXE•矩母函数及生成函数定义1.5随机变量X的矩母函数定义为随机变量exp{tX}的期望,记作g(t),即:][)(tXeEtg•矩母函数的性质:①当矩母函数存在时它唯一地确定了X的分布;②E[Xn]=g(n)(0),n1;③对于相互独立的随机变量X与Y,则gX+Y(t)=gX(t)gY(t).注:由于随机变量的矩母函数不一定存在,因此现在常用特征函数E[eitX]代替矩母函数.关于特征函数内容以及性质1,可以参阅安徽师范大学数学系主编的教材:[1]丁万鼎等,概率论与数理统计,上海:上海科学技术出版社,1988.•常见分布的矩母函数:分布名称概率分布或密度矩母函数二项分布B(n,p)Poisson分布Π()正态分布N(,2)指数分布P()均匀分布U[a,b]ntqpe)()1(tee2221tte1)1(ttabeeatbt)(nkqpCkXPknkkn,,1,0,)(,2,1,0,!)(kekkXPk222)(21)(xexf0,00,)(xxexfx其他,0,1)(bxaabxf解:先算条件期望]exp[]|[1nNXtEnNeENkktY例1.10(随机和的矩母函数)记X1,X2,…为一串独立同分布的随机变量,N为取值为非负整数的随机变量,且N与X序列相互独立.求Y的矩母函数.NkkXY1]exp[1nNXtEnkknXnkktgXtE)]([][exp1于是有]))([(]}|[{][)(NXtYtYYtgENeEEeEtg进一步,)]())(([)('1'tgtgNEtgXNXY)]())(())(())()(1([)(''12'2''tgtgNtgtgNNEtgXNXXNXY因此,EXENXNEENgEgEYXY)]([)]0([)0(''XEENXVarENgEYY22''2)()0(注意:g(0)=1定义1.5若X为离散随机变量,则期望E(sX)为其概率生成函数,记作X(s),即:][)(XXsEs•生成函数的性质:①生成函数与离散随机变量是一一对应的;②③对于相互独立的随机变量X与Y,则X+Y(s)=X(s)Y(s).1)()]1()1([sXrrsdsdrXXXE性质:若离散随机变量分布为则,2,1,0,)(kpkXPk,2,1,0,)(!10ksdsdkpsXkkk证明:事实上,.)(0kkkXsps课外作业：Page13Ex13，14，15，17