随机过程的统计特性和平稳随机过程

自然界变化的过程可以分为确知过程和随机过程两大类每次观测所得结果都相同，都是时间t的一个确定的函数，具有确定的变化规律。每次观测所得结果都不同，都是时间t的不同函数，观测前又不能预知观测结果，没有确定的变化规律。确知过程随机过程正弦信号调制信号周期性脉冲信号雷达接收机的噪声鸟叫声爆破信号实际过程2.1随机过程的基本概念及定义2.2随机过程的统计描述2.3平稳随机过程2.4随机过程的联合分布和互相关函数2.5随机过程的功率谱密度2.6典型的随机过程接收机噪声随着时间t而改变的随机变量050100150200-505050100150200-505050100150200-505050100150200-505t1接收机噪声一簇样本函数的集合。050100150200-505050100150200-505050100150200-505050100150200-5051、随机过程(StochasticProcess)定义定义1：设随机试验E的样本空间为S={e}，对其每一个元素都以某种法则确定一个样本函数,由全部元素{e}所确定的一族样本函数称为随机过程,简记为。(,)ixte(1,2,...)iei(,)Xte()Xt定义2：设有一个过程，若对于每一个固定的时刻，是一个随机变量，则称为随机过程。()Xt(1,2,...)jtj()jXt()Xt随机过程是样本函数的集合随机过程是随机变量的集合随机过程X(t,e)四种不同情况下的意义：•当t固定，e固定时，X(t)是一个确定值；•当t固定，e可变时，X(t)是一个随机变量；•当t可变，e固定时，X(t)是一个确定的时间函数；•当t可变，e可变时，X(t)是一个随机过程；2、随机过程分类状态时间连续型随机过程连续连续连续随机序列连续离散离散型随机过程离散连续离散随机序列离散离散按时间和状态的类型分：2、随机过程分类特点不可预测的随机过程任意样本函数的未来值不能由过去的观测值准确地预测可预测的随机过程任意样本函数的未来值能由过去的观测值准确地预测按随机过程的样本函数的形式分：01020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-101随机相位信号0()cos()XnAn0(,)cos()iiixnAn2、随机过程分类按随机过程有无平稳性分：平稳随机过程、非平稳随机过程；按随机过程有无遍历分：遍历随机过程、非遍历随机过程；按随机过程功率谱特性分：宽带随机过程、窄带随机过程；1、一维概率分布})({),(xtXPtxFXxtxFtxfXX),(),(连续随机过程：(,){()}XFxnPXnx(,)(,)XXFxnfxnx随机序列：一、随机过程的概率分布例1、设随机振幅信号其中是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机变量，求时的概率密度。tYtX0cos)(0002,32,0t2、二维概率分布})(,)({),,,(22112121xtXxtXPttxxFX21212122121),,,(),,,(xxttxxFttxxfXX注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。例2、设随机相位信号其中，且取值概率各为1/2,求，时的一维和二维概率分布。)2/,0{()cos(/10)Xnn10n210n0204060-101x2(n)0204060-101x1(n)二、随机过程的数字特征•均值dxtxxftXEtmXX),()}({)(•方差})]()({[)(22tmtXEtXX)()}({22tmtXEX)}({2tXE)()(22tmtXX•均值与方差的物理意义：表示消耗在单位电阻上的总的平均功率。•相关函数(correlationfunction)212121212121),,,()}()({),(dxdxttxxfxxtXtXEttRX相似均值和方差的随机过程•协方差函数)]}()()][()({[),(221121tmtXtmtXEttKXXX如果0),(21ttKX，则称)(1tX和)(2tX是不相关的。如果12(,)0XRtt，则称)(1tX和)(2tX是相互正交的。如果),(),(),,,(22112121txftxfttxxfXXX，则称随机过程在1t2t时刻的状态是相互独立的。和离散随机过程数字特征和NiiiXtptxtm1)()()(NiiXiXtptmtxt122)()]()([)(NiNjijjiXttptxtxtXtXEttR1121212121),()()()}()({),(NiNjijXjXiXttptmtxtmtxttK1121221121),()]()()][()([),(例3、设随机振幅信号为其中为常数，V是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。tVtX0sin)(0dxetxfeEtxjXtXjX),(}{),()(dettxfxjXX),(21),(Nitjxiietp1)()(离散形式：0),()()}({nXnnndtdjtXE三、随机过程的特征函数第四讲：小结})({),(xtXPtxFX随机过程随机变量的统计特性随机过程是样本函数的集合随机过程是随机变量的集合随机过程的概率分布随机过程的数字特征})(,)({),,,(22112121xtXxtXPttxxFX•均值dxtxxftXEtmXX),()}({)(•方差})]()({[)(22tmtXEtXX)()}({22tmtXEX•相关函数1212(,){()()}XRttEXtXt•协方差函数)]}()()][()({[),(221121tmtXtmtXEttKXXX课后作业：2.3、2.6随机变量的统计特性随机过程的特征函数dxetxfeEtxjXtXjX),(}{),()(Nitjxiietp1)()(离散形式：一、定义),,,,,(),,,,,(1111nnXnnXttxxfttxxf)(),(xftxfXX一维概率密度：二维概率密度：),,(),,,(212121xxfttxxfXX21tt(1)严格平稳随机过程(StrictlystationaryProcess)(2)广义平稳随机过程(WeaklystationaryProcess)2121),(),(ttRttRXXXXmtm)(严格平稳广义平稳当随机过程是高斯分布时，两者等价。一定不一定例1、设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的随机变量。试问X(t)是否平稳？例2、设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-t。其中X，Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1/3取值-1和2。试讨论随机过程Z(t)的平稳性。二、平稳随机过程自相关函数性质()()XXRR(0)()XXRR2)(limXXmR若随机过程不含周期分量，)(XR2X)0(XR2Xm0相关函数示意图22)0(XXXmR若平稳随机过程X(t)满足X(t)=X(t+T)，称其为周期平稳过程，则其自相关函数必为周期函数，且它的周期与过程的周期相同。若平稳随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有同周期的周期分量)()cos()(0tNtAtX)(cos2)(02NXRAR例3、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为求X(t)的均值和方差。251436)(XR10010cos100100)(||10eRX例4、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为求X(t)的均值、均方值和方差。P862.15三、相关系数及相关时间222)()()(XXXXXXmRKr相关系数：也称为归一化协方差函数或标准协方差函数。相关时间：00)(drX05.0)(0Xr)(Xr100相关时间示意图050100-4-2024050100-10-50510两个不同相关时间随机过程的样本函数101000例5、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为求X(t)的相关系数。23)(eRX第五讲：小结平稳随机过程),,,,,(),,,,,(1111nnXnnXttxxfttttxxf严格平稳随机过程广义平稳随机过程2121),(),(ttRttRXXXXmtm)(平稳随机过程自相关函数性质)(XR2X)0(XR2Xm0相关函数示意图第五讲：小结平稳随机过程相关系数222)()()(XXXXXXmRKr相关时间00)(drX05.0)(0Xr)(Xr100相关时间示意图课后作业：2.10四、随机过程的遍历性（ergodic）定义：对于平稳随机过程X(t)，若有则X(t)为遍历过程。TTTXdttXTmilm)(21TTTXdttXtXTmilR)()(21)(其中XPXmm)()(XPXRR)(tXt)(tXt(a)(b)各态历经过程与非各态历经过程示意图TTdttxTtXE)(21)]([TTXdttxtxTR)()(21)(连续随机过程：101ˆ()NXnmxnN12201ˆˆ()1NXXnxnmN101ˆ()()()1NmXnRmxnxnmNm随机序列：遍历性的实际意义：随机过程具备遍历性的条件：0])()[21(1lim202TXXTdmRTT均值遍历性的充要条件：dRX0)(零均值平稳正态随机信号：相关函数遍历性的充要条件：0)]()()[21(1lim202TXTdRRTT)()()(tXtXt随机过程必须是平稳的。例5、判断随机过程X(t)=Y的遍历性，其中Y是方差不为零的随机变量。