随机过程第四版 Ch6 刘次华 研究生课件

第六章平稳随机过程6.1平稳随机过程的概念定义6.1设{X(t)，tT}是随机过程，对任意常数和正整数n，t1,t2,,tnT,t1+,t2+,,tn+T，若(X(t1),X(t2),,X(tn))与(X(t1+),X(t2+),,X(tn+))有相同的联合分布，则称{X(t)，tT}为严平稳过程，也称狭义平稳过程。6.1平稳随机过程的概念定义6.2设{X(t)，tT}是随机过程，并满足：(1){X(t)，tT}是二阶矩过程；(2)对任意tT，mX(t)=EX(t)=常数（mX）；(3)对任意s,tT，RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(t-s)=RX()，则称{X(t)，tT}为广义平稳过程，简称平稳过程。若T为离散集，称平稳过程{Xn，nT}为平稳序列。6.1平稳随机过程的概念•广义平稳过程严平稳过程•严平稳过程广义平稳过程•严平稳过程广义平稳过程正态过程二阶矩存在6.1平稳随机过程的概念•例6.1设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t),t0，且Y,Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2，试讨论随机过程{X(t),t0}的平稳性。解0)sin()cos()]sin()cos([)()(EZtEYttZtYEtEXtmX)]()([),(tXsXEtsRX))]sin()cos())(sin()cos([(tZtYsZsYE6.1平稳随机过程的概念]cos[])cos[()sin()sin()cos()cos()sin()sin()(sin)cos()cos()()sin()sin()()(sin)()cos()cos(])sin()sin()(sin)cos()cos()(sin)cos()[cos(22222222sttstsDZtsEYEZtsDYtsZEtsYZEtsYEtsZtsYZtsYZtsYtsE所以{X(t)，tT}为宽平稳过程。6.1平稳随机过程的概念•例6.2设{Xn,n=0,1,2,}是实的互不相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn]=2，试讨论随机序列的平稳性。解因为E[Xn]=0，所以{Xn,n=0,1,2,}是平稳随机序列。2000XnnR(n,n)E[XX],,6.2联合平稳随机过程定义6.4设{X(t)，tT}和{Y(t)，tT}是两个平稳过程，若它们的互相关函数E[X(t)Y(t-)]及E[Y(t)X(t-)]仅与有关，而与t无关，即RXY(t,t-)=E[X(t)Y(t-)]=RXY()RYX(t,t-)=E[Y(t)X(t-)]=RYX()则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。6.2联合平稳随机过程命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程。事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数，)()()()()()]()([)]()([)]()([)]()([)]()()()()()()()([)]()()][()([)]()([WYYXXYXRRRRRtYtYEtXtYEtYtXEtXtXEtYtYtXtYtYtXtXtXEtYtXtYtXEtWtWE6.3随机分析简介•微积分中普通函数的连续、导数和积分等概念推广到随机过程的连续、导数和积分上即随机分析6.3随机分析简介定义6.5设有二阶矩随机序列{Xn}和二阶矩随机变量X，若有成立，则称{Xn}均方收敛于X。记作或0||lim2XXEnnXXnnl.i.mXXnm.s(meansquare)(limitinmean)6.3随机分析简介定理6.1（柯西收敛定理）二阶矩随机序列{Xn}收敛于二阶矩随机变量X的充要条件是0||lim2,mnmnXXE6.3随机分析简介定理6.2设{Xn},{Yn},{Zn},都是二阶矩随机序列，U是二阶矩随机变量，{cn}为常数序列，a,b,c为常数，令则(1)(2)(3),l.i.mXXnn,l.i.mYYnn,l.i.mZZnnccnnlimcccnnnnliml.i.mUUnl.i.mcUUcnnl.i.m6.3随机分析简介(4)(5)(6)()bYaXbYaXnnnl.i.mnnnnXEEXEXl.i.mlimnnnnnnnYXEXYEYXEl.i.ml.i.m][lim222l.i.m][limnnnnXEXEXE6.3随机分析简介定理6.3设{Xn}为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的充要条件是下列极限存在mnmnXXE,lim6.3随机分析简介定义6.6设有二阶矩过程{X(t),tT}，若对每一个tT，有则称X(t)在t点均方连续，记作若对T中的一切点都均方连续，则称X(t)在T上均方连续。0|)()(|lim20tXhtXEh)()(l.i.m0tXhtXh6.3随机分析简介定义6.7二阶矩过程{X(t),tT}，若存在随机过程X(t)，满足则称X(t)在t点均方可微，记作并称X(t)为X(t)在t点的均方导数。0)()()(lim20tXhtXhtXEhhtXhtXdttdXtXh)()(l.i.m)()(06.3随机分析简介•均方积分•设{X(t),tT}为二阶矩过程，f(t)为普通函数，其中T=[a,b]，用一组分点将T划分如下：a=t0t1tn=b，),,2,1(,))(()(,}{max11111nittttttXtfSttiiiniiiiinniini其中作和式记6.3随机分析简介定义6.8如果当n0时，Sn均方收敛于S，即，则称在区间[a,b]上均方可积，并记为0||lim20SSEnn))(()(l.i.m)()(110iiiniibatttXtfdttXtfSn6.3随机分析简介定理6.6（均方可积准则）f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件为存在，特别地，二阶矩过程X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在[a,b][a,b]上可积。babaXdtdtttRtftf212121),()()(6.3随机分析简介定理6.7设f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积，则有(1)(2)babababadttEXdttXEdttEXtfdttXtfE)()()()()()(特别地有babaXbababaXbabadtdtttRdttXEdtdtttRtftfdttXtfdttXtfE21212212121222111),()(),()()()()()()(特别地有6.3随机分析简介定理6.8设二阶矩过程{X(t),tT}在区间[a,b]上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程{Y(t),tT}在区间[a,b]上均方可微，有Y(t)=X(t)。推论设X(t)均方可微，且X(t)均方连续，则)(,)()(btadXtYtabatadXaXbXdXaXtX)()()()()()(特别地有6.3随机分析简介•例6.5设{X(t),tT}是实均方可微过程，求其导数过程{X(t),tT}的协方差函数BX(s,t)。解由定理6.5推论2(1)由定理6.6推论2(4))()]([)()(tmtXEdttdEXdttdmXX),()]()([),(2tsRtXsXEtstsRXX6.3随机分析简介tstsBtmsmtsRtsdttdmdssdmtstsRtmsmtsRtmsmtXsXEtmtXsmsXEtsBXXXXXXXXXXXXXXX),()()(),()()(),()()(),()()()]()([)]()()][()([),(222所以6.4平稳过程的遍历性定义6.9设{X(t),-t}是均方连续的平稳过程，则时间均值时间相关函数dttXTtXTTT)(21l.i.m)(dttXtXTtXtXTTT)()(21l.i.m)()(6.4平稳过程的遍历性定义6.10设{X(t),-t}是均方连续的平稳过程，若则称平稳过程的均值具有遍历性；若则称平稳过程的相关函数具有遍历性。XTTTmtXEdttXT)]([)(21l.i.m1.Pr)()()(21l.i.m1.PrXTTTRdttXtXT6.4平稳过程的遍历性定义6.11如果均方连续的平稳过程{X(t),-t}的均值和相关函数都具有遍历性，则称该平稳过程具有遍历性。例6.9设随机相位过程X(t)=acos(t+)，a,为常数，为服从(0,2)上均匀分布的随机变量，讨论X(t)的遍历性。解021)cos()]([20dtatXE6.4平稳过程的遍历性遍历故均值从而有,0)]([)(0cossin22l.i.m0)sin()sin(2l.i.m)cos(21l.i.m)(1.Pr1.Pr1.PrtXEtXTTaTTTadttaTtXTTTTT6.4平稳过程的遍历性)()cos(2])22cos()[cos(212)cos()cos(2)]cos()cos([),(2202202XXRadtadttatataEttR6.4平稳过程的遍历性)cos(222cos2sin22l.i.m)cos(22)22sin()22sin(2l.i.m)cos(2)22cos()cos(212l.i.m)cos()cos(21l.i.m)()(21.Pr22222aTTaaTTTaadttTadttataTtXtXTTTTTTTT）（）（6.4平稳过程的遍历性例6.7讨论随机过程X(t)=Y的遍历性，其中Y是方差不为零的随机变量。解X(t)=Y是平稳过程，因为E[X(t)]=E[Y]=常数，。历的所以随机相位过程是遍故相关函数遍历从而有,),()()(1.PrXRtXtX12211212TTTPr.TTTPr.XX(t)l.i.mYdtYTX(t)E[X(t)]X(t)X(t)l.i.mYdtYTX(t)X(t)R()X(t)Y故均值不具有遍历性故相关函数不具有遍历性随机过程不具有遍历性12211212TTTPr.TTTPr.XX(t)l.i.mYdtYTX(t)E[X(t)]X(t)X(t)l.i.mYdtYTX(t)X(t)R()X(t)Y故均值不具有遍历性故相关函数不具有遍历性随机过程不具有遍历性故均值不具有遍历性。6.4平稳过程的遍历性定理6.10对于均方连续平稳过程{X(t),-t}，均值遍历的充要条件是0||)(2||121lim222dmRTTTTXXT))((D||)(