3-2 实对称矩阵与实二次型

实对称矩阵二次型及其矩阵、矩阵的相合用正交变换化简实二次型用坐标变换化简二次型3-2实对称矩阵与实二次型定理3.6实对称矩阵的特征值全是实数.定理3.7实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量彼此正交.定理3.8任意实对称矩阵正交相似于实对角阵，即:.211ΛAQQAQQΛQnT，使及实对角阵存在正交阵推论3.8a任一n阶实对称矩阵A的每个ni重特征值一定有ni个线性无关的特征向量，从而（由Schmidt方法）一定有ni个标准正交的特征向量（总共有n个标准正交的特征向量）.例1正交相似对角化。将022231213A22231213AE)2()4(22-1-1111011244,0T6231613121613121ΛAQQQ例2..1011.1113AAT求对应的一个特征向量是，，的特征值为设三阶实对称矩阵,010101101P令.1111APP则有)(.100,01101TT2133不唯一）（）（如向量有且只有两个，例的线性无关解正交即满足另一方面，与正交；向量，而且都与两个线性无关特征是二重特征值，一定有是实对称矩阵，因为解xxA1PPA于是.1000010100212110002121111010101101注.,,,,3212121，结果是一样的算出而由可得正交阵单位化，，再将正交化得，将AQQAQT2.实二次型及其矩阵、矩阵的相合n元实二次型：n个实变量的实系数二次齐次多项式.则规定,jiijaanjijiijnxxaxxf1,1),,()()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxnnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121AxxAxxT,).()()(.),,(][1AffAxxfaAnij秩秩的秩，即称为二次型秩的矩阵二次型是实对称矩阵，称为实其中例3233222211321),,(ybybybyyyg).,,(321321bbbdiagbbbB,217212324273),,(2121323121232221321Axxxxxxxxxxxxf.0标准形称为）时项的二次型（即满足只含平方项，不含交叉ijaji.是对角阵是标准形AAxxT001111B其矩阵为pr-pn-r.)00()(221221221规范形为特别，称标准形nrrppyyyyyyyg（正系数全为1，负系数全为-1）.二次型的中心问题是：寻找可逆线性变换（包括正交变换）x=Py将xTAx化为标准形.分析：)()(PyAPyAxxTT0PPyx.)()(APPAPPTTT显然yAPPyTT)(•若A是对称阵，B必为对称阵；•矩阵合同关系也是等价关系的特款，即有反身性、对称性和传递性;•相合矩阵的秩相等.因此可逆线性变换不改变二次型的秩.相合与或合同与则称使是方阵，若有可逆阵设BABAAPPBPBAT,,,3.用正交变换化简实二次型.,,,,.11121ijjiiiinnniiinTTqqqAqAqqQAyyyAxx，即的标准正交特征向量组的列是的特征值（实数），是其中即过正交变换化为标准形任何实二次型总可以通EQQyxTQ,定理3.9移植）由定理（主轴定理3.8323121222132144233),,(xxxxxxxxxxxf型用正交变换化简实二次例4,Qyx正交变换作.244232221yyyff标准形化为,62310613121613121Q解022231213A例五4.用坐标变换化简实二次型避免求特征值和特征向量，利用初等变换求标准形。例5用坐标变换化例4中二次型为标准形.322231212143423xxxxxxxxf思想：PyxyyfPEATTAEA及坐标变换标准形作相应列变换对作行变换对),(),(),(1312131232,3132,31100022010231001213),(ccccrrrrEA解yxyyyf1001101311.4383232221所用的坐标变换是准形：由此得，所求的一个标同学们可比较例4和例5所得结果.2323103234380013138380001003ccrr11140001310380001003).(APPT自行验证例四.262),,(.6323121321xxxxxxxxxf型用坐标变换化简实二次例元不为零：变换使不含平方项，先作倍加)1,1(解1312131225,25,100012501010102112511ccccrrrr21212121100013010101001310),(ccrrEA2323272714525425270021127100211001rrcc131600021101002110012221236.11021102131fyyyxy由此得，所求的一准形：所用的坐是本节要求：理解实对称矩阵的性质正交相似对角化的全过程熟练掌握用正交变换化简实二次型的全过程了解用初等变换寻求坐标变换化简二次型的方法书面作业：153页16，17（2），18，19,（第一次）22(1)(2),23(1)（第二次）Practicemakesperfect.