复变函数总复习资料

1复数的基本概念和运算1、复数Re();Im()Im()0zRe()0zzxzyzz实部：虚部为若，则为实数；若，则为纯虚数。2,1xyi为实数;z=x+iy或z=x+yi注意：(1)2个复数不能比较大小;(2)当且仅当实部、虚部分别相等时复数才相等。zxiy共轭11121212122222i),,;ii);iii)Re()Im();iv)2Re(),2Im()zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzziz22、复数的表示•直角坐标：z=x+iy–复平面与直角坐标平面上的点一一对应•向量表示–模–幅角•三角表示：•指数表示：0xy)(x,yiyxzOxyqPz=x+iy2200||Argarg2arg,zrxyzzkzqqqz=0时辐角不确定(cossin)zriqqcossinieiqqqizreq3辐角主值公式：00arctg0,(140arctg0,02arctg0,03arg00,020,000,0yxyxyxyxyxyzxxyyxyxxyxq当，象限）当（象限）当（象限）当（轴上）当（轴上）当（轴上）arctg22yx2341xy0q43、复数运算加法、减法：乘法:除法:121212()()zzxxiyy12112212121221()()()()zzxiyxiyxxyyixyxy11112121212222222222222,0zxiyxxyyyxxyzizzxiyxyxy111222zxiyzxiy运算法则:•z1+z2=z2+z1•z1z2=z2z1•z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3•z1(z2z3)=(z1z2)z3•z1(z2+z3)=z1z2+z1z35乘积：z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),z1z2=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]于是:|z1z2|=|z1||z2|Arg(z1z2)=Argz1+Argz2()Arg()ArgArgizzzzezzzzqq1212121212模相乘；辐角相加。商：模相除；辐角相减()Arg()ArgArgizzzezzzzzqq1211112222幂：根：inθnnerz注意根的多值性！122(cossin)0,1,2,3,(1)nnkkwzrinnknnqq得到个不同的根。6区域：平面点集D称为区域,必须满足下列两个条件：1）D是一个开集。2）D是连通的。不连通单连通域：区域B中任做一条简单闭曲线，曲线内部总属于B，称B为单连通区域。多连通域：不满足单连通域条件的区域。单连通域多连通域区域的概念7复变函数w=f(z),z=x+iy,w=u(x,y)+iv(x,y)单值函数：z的一个值对应一个w值。多值函数：z的一个值对应两个或以上w值。反函数：z=g(w)两个实变函数的讨论复变函数的讨论复变函数的极限、连续性、可导、解析性的判定81、极限lim()()zzfzAzzfzA00或，。都要趋于同一个常数论从哪个方向趋近；的方式是任意的，即无Azfzz)(0定理一：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0lim()()lim()()lim(),lim():()lim()zzzzzzzzzzfzgzABfzgzABfzAgzBfzAgzB00000有lim()lim(,),lim(,)zzxxxxyyyyfzAuxyuvxyv0000000的充分必要件：条定理二：92、连续性000lim()(),()zzfzfzfzz如果称在处连续。()D()Dfzfz如果在区域内处处连续,称在内连续。),(),(lim),(),(lim)(000000000yxvyxvyxuyxuzzfyyxxyyxx为：处连续的充分必要条件在定理三、)]([,0)()()(),()(),()()()(000zgfzgzgzfzgzfzgzfzzzgzf处都连续。处连续，下列函数在在，定理四、如果()()()()nnnwzwPzaazazPzwQzQz010多式：=有理式：=在复平面内，下列各式连续：项10导数定义形式与实变相同，求导法则与实变相同。121()02()3()()()()4()()()()()()()()()()()5()()6[()]()()()nncznznfzgzfzgzfzgzfzgzfzgzfzfzgzfzgzgzgzfgzfwgzwgz、、正整数、、、、17(),()(),()0.()fzwfzz、与是两个互为反函数的单值函数且3、导数()()()lim()zfzzfzwfzzDzfzz00000，如果存在，在00000()()()limzzzfzzfzdwfzdzz定义在区域D内，称可导11为奇点。不解析在00)(zzzf000()()fzwfzzzz及的邻域内处处可,则在点导在解析内每一点解析。在内解析：在区域DzfD)(可导解析可导解析z0点：区域D：4、解析00()()()()(),()(),(g(z)0),[()]()fzgzzfzfzgzfzgzfgzzgz定理五：如果，在处解析,则在处都解析。01()()0()nnwPzaazazPzwQz有理多项式在整个复平面上解析。有理分式（两个多项式的商）除分母不为的点外，处处解析,使分母为零的点是它的奇点。12()(,)(,)1(,),(,)(,)2-C-R),fzuxyivxyzxiyuxyvxyzxyuvuvxyyx定理一：在一点可导的充分必要条件为：（）在点可微(可导)；（）满足柯西黎曼(方程：重要定理：函数解析的条件柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程()(,)(,)1(,),(,)2,fzuxyvxyiDuxyvxyDuvuvDCRxyyx定理二：在区域内解析的充分必要条件为：）在内可微(可导)；）在内（方程）：()uvvufziixxyy求导公式:13连续、可导、解析的关系：内解析在D)z(f可导在0z)z(f解析在0z)z(f内可导在D)z(f连续在0z)z(f高层中层低层14初等函数,Ln,,sinzaezzz注意性质：周期性;多值性;奇偶性;解析性1.指数函数：()exp(cossin)zxfzzeeyiy12121.()02.3.4.2zzzzzzzfzeeeeeeki处处解析满足加法定理：周期性：周期为ze的性质：152.对数函数：lnlnargargLnln21,2zzizzzzkik主值：分支：LnlnArgzziz多值！lnarg2zizik性质:1212(1)Ln()LnLn,zzzz1122(2)LnLnzLn,zzz(4)(),,,在除去负实轴包括原点的复平面内主值支和其它各分支处处连续处处可导且11(ln),(Ln).zzzz13LnLnLnLnnnznzzzn（）16乘幂Ln.bbaaeLnln(arg2),.baaiaka由于是多值的因而也是多值的3bbaz.乘幂与幂函数：、abikbaiabeeln2)arg(ln单值(2)(,0):pbpqqq与为互质的整数[ln(arg2)]ln(arg2)lnarg2ppppppaiakaiakaiaikbqqqqqqaeeeelnargcos2πsin2πppaiaqqppekikqqq个值:0,1,2,,(1)kq(1)b为整数:)]2arg([lnLnkaiababbeea3ba()除此以外，具有无穷多个值17Lnbbzwze11,.nnnbnwzwzzn当与时就分别得到复数的幂及根运算：及幂函数幂函数的解析性(1)nz幂函数在复平面内是单值解析的：1().nnznz1(2),.nzn幂函数是多值函数具有个分支各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的:1111.nnzzn各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的:1(3)(),bwzbnn幂函数与也是一个多值函数1().bbzbz,.b当为无理数或复数时是无穷多值的1811sin()sin,cos()cos.22sin(2)sin,cos(2)cos.3sincos,cossin4cossin5cos(izzzzzzzzzzzzzezizz（）奇偶性：（）周期为的周期函数：（）在复平面内处处解析：（）欧拉公式仍然成立：（）一些三角公式仍然成立：22212),sin(),sincos1,sin1&cos1zzzzzzz但不成立三角函数性质：4.三角函数cos2izizeezsin2izizeezi19一、曲线积分计算：1212(1)()()()(2)(),()()()(3)()()()()(4)()(nCCCCCnCCCCfzdzuivdxidyudxvdyivdxudyCzzttfzdzfztztdtCCCCCfzdzfzdzfzdzfzdzfzf通过两个二元线积分求：当曲线可表示为参数方程时：为分段光滑曲线：为解析函数时，若可求得1010)()()()()zzzFzfzdzFzFz的原函数则有：第三章复变函数的积分习题3-8(1)20二、闭路积分问题：1-()0()CfzdzCfz（）柯西古萨定理：其中所包围区域为单连通域，在该区域内解析12()()CCfzdzfzdz（）闭路变形原理：在多连通域解析的函数，不因闭曲线作连续变形而改变积分值。11()()()0knCCknfzdzfzdzfzdzCCC（）3（）复合闭路定理：在多连通域解析的函数CC1DC1C2C3C000()0104()1(),()2!()()(1,2,)2CnnCfzBCzfzCBfzdzizznfzfzdznizz（）柯西公式、高阶导数公式：在上处处解析，为围绕的一条闭曲线，且的内部全含与则：习题3-7(8)、3-9(1)21三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.(1)()();CCfzdzfzdz(2)()();()CCkfzdzkfzdzk为常数(3)[()()]()();CCCfzgzdzfzdzgzdz(4),()(),()d()d.CCCLfzCfzMfzzfzsML设曲线的长度为函数在上满足那么估值不等式221、调和函数的定义2222(,),0,(,).xyDxyxyD如果二元实变函数在区域内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程:则称为区域内的调和函数四、解析函数与调和函数的关系2、解析函数和调和函数的关系定理：任何在区域D内解析的函数,它的实部和虚部都是D内的调和函数，即有：22220,uuxy22220,vvxy()wfzuiv23,,,.uvuvDxyyxvu换句话说在内满足方程的两个调和函数中称为的共轭调和函数3、共轭调和函数(,),(,)(,).uxyDuiv