数据包络分析新

数据包络分析:是研究同类型企业或部门经营好坏的一个方法，也可用于研究同一企业不同时期的经营效果。所谓相对有效性是指在同类型的企业部门（称为决策单元）各投入一定数量的资源、资金或劳动力后，对其生产的产品的数值、经济效益或社会效益相互间进行比较而言，评价同类企业或部门的相对有效性是衡量一个企业或部门的科学管理水平的一个重要标记。数据包络分析简介实例自然，评价一个决策单元，其主要依据是“投入量”（或称“输入数据”）和“产出量”（或称“输出数据”）。例如，评价一所高等院校，输入数据是学校的全年经费、教职员工的总人数、各类职称的教师人数、教学用房总面积以及图书、设备、仪器等；输出数据则应是每年培养的学生人数、毕业生的质量、教师的教学质量和科研成果的数量和质量等，然后根据这些“投入量”与“产出量”评价这所高校的优劣。这里的优劣是通过与其他学校相互比较而言的。RC2GSC2WC2WHC2起源:1978年著名的运筹学家查尼斯（A.Charnes）、库珀（W.W.Cooper）及罗兹（E.Rhodes）首先提出了一个评价部门间相对有效性的数据包络分析法（themethodofdataenvelopmentanalysis），简称DEA方法。它是根据一组输入和输出的观察值来估计有效生产前沿面。他们的第一个DEA模型称为模型，是用来评价部门间的相对“规模有效”的。1985年提出了单纯评价“技术有效”性的1986年根据研究具有无穷多个决策单元的情况，提出了模型。1987年给出具有“偏好”的锥比率的模型。这些模型已经在实际中得到成功的运用。。1x2x3x1y2y为了说明DEA模型建模的基本思路，下面看一个例子。某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值，流动资金，职工人数）和产出（总产值，利税总额）的有关数据如下表所示。1x2x3x1y2y企业指标甲乙丙（万元）（万元）（万元）415271545824（万元）（万元）6022241268iviixrurryj31iijixv21rrjryu3121iijirrjrjxvyuh由于投入指标与产出指标都不止一个，故通常采用加权的办法来综合指标值和产出指标值。设为第个投入指标的权重，为第个产出指标的权重，则第个企业投入的综合值为，产出的综合值为，其效率定义为于是问题实际上是确定一组最佳的权变量和使第个企业的效率值最大，这个最大的效率评价值是该企业相对于其他企业来说不可能更高的相对效率评价值。321,,vvv,,21uujhj我们限定所有的值（）不超过1，即。这意味着，若第个企业，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的；若，那么该企业相对于其他企业来说，生产率还有待提高，或者说这一生产系统还不是有效的。根据上述分析，可以建立确定任一个企业（如第3个企业即丙企业）的相对生产率的最优化模型如下：jh3,2,1j1maxjh1khk1kh.3,2,1,0,2,1,03,2,1,1..,max3ivrujhtshHirj321211815401260vvvuuh3212128415622vvvuuh3212134527824vvvuuh，，。其中这是一个分式规划模型，利用查尼斯-库珀变换后，可以把它转化为一个等价的线形规划模型，然后利用线形规划模型的知识进行求解即可。DEA方法是运筹学的一个较新的研究领域，它的众多优点吸引了许多应用工作者。在国外，应用范围已扩展到军用飞机的飞行、城市建设、银行信贷等方面。同时还可用它研究多种方案之间的相对有效性，甚至可以用来进行政策评价。目前我国正在进行的各行各业的评价中，DEA方法是一个较为理想的方法。本节，只简单介绍模型，其他几个模型请参考有关的资料。RC2模型设有个同类型的部门（又称决策单元），对每个部门都有种不同的输入以及种不同的输出（即投入种“资源”，产出种“产品”），它们由下表给出RC2npmmp12...j...n12m1v2vmv11x12x...jx1...nx121x22x...jx2nx2.................................................................................1mx2mx...mjx...mnx12p1u2upu11y12y...jy1...ny121y22y...jy2...ny2.................................................................................1py2py...pjy...pny部门指标权数输入输出...其中：表示第个决策单元关于第种类型投入的总量，表示第个决策单元关于第种类型产出的总量，表示第种类型输入的度量（也称为权系数）；表示第种类型输出的度量（也称为权系数）；ijxji;0ijxrjyjr;oyrjivirur.,,2,1;,,2,1;,,2,1prnjmi和为已知的数据，它可以根据历史的资料或预测的数据得到；和是变量。对应于权系数与，每个决策单元都有相应的效率评价指数ijxrjyivruTmvvvV,,,21TpuuuU,,,21miijiprrjrixvyuh11从理论上来说，我们总是可以选取适当的权数和，使其满足：.,,2,1,1njhj现在对第个对策单元进行效率评价，以权系数和为变量，以第个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元的效率指标为约束，构成如下的最优化模型：0jnj01VU0j1jh.0,,,0,,,.,,2,1,1,max21211110100TpTmmiijiprrjrmiijiprrjrjuuuUvvvVnjxvyuxvyuh不难看出，利用上述模型评价决策单元是不是有效，是相对于其他所有决策单元而言的。为方便起见，记为，为，同样,记为，,使用矩阵符号，有0j0rjy0ry0ijx0ix0jY0Y0jX0X00maxXVYUVTTp)(P.0,0,,2,1,1..UVnjXVYUtsjTjT.,,2,1,,,,,,,,2121njyyyYxxxXTpjjjjTmjjjj，其中)(P是一个分式规划，使用查尼斯-库珀变换，可以转化为一个等价的线性规划问题。为此，令,,,10tUtVXVtT则有.0,0,1,,2,1,10000XnjXYXVYUYXVYUTjTjTjTjTTTT)(P0maxYVTp)(P.0,0,1,,2,1,0..0XnjYXtsTjTjT因此分式规划变为定理1分式规划和线性规划在下述意义下等价：⑴若为的最优解，则为的最优解，并且最优值相等，其中)(P)(P00,UV)(P000000,UtVt)(P.1000XVtT00,)(P00,UV)(P⑵若为的最优解，则也为的最优解，并且最优值相等。定义1若线性规划的最优解满足则称决策单元为弱DEA有效。定义2若线性规划的最优解中存在满足则称决策单元为DEA有效。由上面的定义知，若决策单元为DEA有效，则必若DEA有效。显然线性规划的对偶规划为)(P00,,100YVTp0j)(P0,000,100YVTp0j0j)(P,minpVD.,0,0,,2,1,0..1001无约束SSnjYSYXSXtsjnjjjnjjj.,,2,1,0..1001无约束njYYXXtsjnjjjnjjj,minpVD定理2线性规划及其对偶线性规划都存在最优解且最优值定理3对于对偶线性规划有⑴若的最优值，则决策单元为弱DEA有效；反之亦然。⑵若的最优值，并且它的最优解都有则决策单元为DEA有效；反之亦然。)(PD.1PDVVDD1DV0jD1DV,,,,0000SS,0,000SS0j例题已知甲、乙、丙三个同行企业，为评价其相对生产率，取投入要素为固定资产（亿元）和职工人数（千人），产出项目为净产值（亿元），有关数据如下表。试比较它们的有效性。KLYKL1v2vY1u部门指标权数甲乙丙输入1.513437输出548,minDV)(D.0,0,0,3,2,1,0584547345.135.1..321332123211321sssjssstsj解⑴甲企业对应的DEA模型为：的最优解为由于所以甲企业不是DEA有效。⑵乙企业对应的DEA模型为的最优解为可知，乙企业是DEA有效。)(D.0,15.0,93.0,0,25.1,003020100sssT,10,minDV)(D.0,0,0,3,2,1,04845373435.1..321332123211321sssjssstsj)(D.0,1,0,1,003020100sssT⑶丙企业对应的DEA模型为的最优解为由于所以，丙企业不是DEA有效。上述计算结果表明，乙企业的相对生产率最高，丙企业的相对生产率最低。,minDV)(D.0,0,0,3,2,1,088457734335.1..321332123211321sssjssstsj)(D.0,57.0,85.0,0,2,003020100sssT,10生产率比较问题例题以1997年全部独立核算企业为对象，对安徽、江西、湖南和湖北四省进行生产水平的比较。投入要素取固定资产净值年平均余额（亿元），流动资金年平均余额（亿元）及从业人员（万人）；产出要素取总产值（亿元）和利税总额（亿元）。样本数据和计算结果见下表（样本数引自1997年中国统计年鉴）。安徽江西湖南湖北固定资产932.66583.08936.841306.56流动资金980.45581.64849.311444.30从业人数401.8294.2443.20461.00利税总额179.2949.76144.20181.41总产值2196.09930.221659.042662.21全要素相对生产率1.00000.71400.93851.0000生产率序号1321以评价湖南省的全要素相对生产率为例，其DEA模型为,minDV.2,1,0,3,2,1,0,4,3,2,1,004.165921.266204.165922.93009.219620.14441.18120.14476.4929.17920.44300.46120.4432.2948.40131.84940.144431.84964.58145.98084.93656.130684.93608.58366.932..2432114321343212432114321rsisjssssstsrij,0,8043.0,9285.04321.24.107,0,17.88,0,71.11921321sssss其解为课设设计：1，7，13，19，25，31汽车类上市公司2，8，14，20，26，323，9，15，21，274，10，16，22，285，1