3.有限元法基本原理

3.1位移元模型•基于最小势能原理的位移元是应用最为广泛的单元有限元方法是把连续体剖分为有限数量的假想单元，将连续体看作是这些单元的集合体。因此首先研究单个单元e内的情况，然后再将所有单元根据连续性组集起来。对于单个单元e内的势能泛函为：假定单元位移试探函数为：N为试探函数，d为待定参数，一般待定参数为节点位移•这就得到了单元e内的关于待定参数de的代数方程组。由于相邻单元之间的场变量并非相互独立，而是与周围的单元相互联系，因此，单个单元内的方程组不能单独求解，必须将所有单元内的方程组集起来，得到全域上的关于待定参数de的方程组，然后施加必要的边界约束，才能求解。•所有单元组集后有:对(3.8)式施加位移边界条件后，即可求解出待定参数d。求出d后，即可由(3.4)式求出位移场分布，然后由(2.2)式和(2.25)式求得应变场和应力场分布。3.2单元位移模式和试探函数3.3应变矩阵与应力矩阵3.4单元势能表达与单元刚度矩阵3.5单元等效节点载荷(a)均布边界力(b)三角形分布边界力1010002TexTptlP120000233TexTptlP图3.4均布体力等效节点载荷u3TefxyxyxytAffffffP3.6整体刚度矩阵集成•在3.4节中建立了单元级的刚度方程，但单个单元的方程不能求解，因为单元是人为的假想划分，作用在该单元边界上的力以及单元的位移边界条件都是未知的。而作用在整个结构上的外力和边界条件是已知的，为此，必须将单元组集合成整体结构后才能求解。11111121311121222311113132331234512345KKKKKKKKKK22211121322222122232223132331234512345KKKKKKKKKK3.7位移边界条件的引入•乘大数法11111111rnrrrrnrrrrnnrnnnnKKKdPKKKdKdKKKdP