5.3 (1)定积分的换元法

December,20045.3(1)定积分的换元法SubstitutionRuleforDefiniteIntegralsDecember,2004定理假设（1）)(xf在],[ba上连续；（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则有dtttfdxxfba)()]([)(.一、定积分的换元法December,2004应用换元公式时应注意:（1）求出)()]([ttf的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.（2）用)(tx把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.与不定积分第二换元法不同的是，这里不要求函数x=φ(t)是单调的。换元，同时换限December,2004例2计算.sincos205xdxx解令,cosxt2x,0t0x,1t205sincosxdxx015dtt1066t.61,sinxdxdt可以“凑微分”这样换元反而不方便第一类换元法的积分不必引入新变量见解法二December,2004220aaxdx解法一22yax220aaxdx为上半圆由定积分的几何意义214aaa22yaxA目前用这个公式似有循环论证之嫌，但是这道题讲完以后就可以用它了。例1December,2004220aaxdx解法二22axdx2221arcsin22axxaxCap.199220aaxdx22201[arcsin]22aaxxaxa2arcsin102a222a214a这样代公式太乏味了！没意思?December,2004220aaxdx解法三重复p.199的换元法令sinxat(0)2t这个变换满足有关条件：sin[0,]xata(0)2ttx2asinxatcosdxatdt22cosaxat00xt2xatDecember,2004不必回到x，直接代t的限！这就是定积分换元法的好处。想一想p.199，回到x多辛苦！220aaxdxcosdxatdt22cosaxat00xt2xatcoscosatatdt02t的限换元，同时换限2022cosatdt2021(1cos2)2atdt2021[sin2]22attDecember,2004220aaxdxcoscosatatdt022022cosatdt2021(1cos2)2atdt2021[sin2]22att2[0]22a214aDecember,20042,0()1,101cosxxexfxxx例7计算41(2)fxdx解令2xt2xtdxdt11xt42xt41(2)fxdx21()ftdtDecember,20042,0()1,101cosxxexfxxx41(2)fxdx21()ftdt0111cosdtt220ttedt01212cos2dtt22201()2tedtDecember,200441(2)fxdx0111cosdtt22012ttedt01212cos2dtt22201()2tedt01[tan]2t2201[]2te1tan241(1)2eDecember,2004定积分等式证明：00()()aafxdxfxdx证思路00()()aafdxfdtxt令xtdxdtxata00xt0()afdxx0()()aftdt0()aftdt0()afxdx等式成立December,2004aaO00()()aafxdxfxdx几何解释：()()yfxyfxy与关于轴对称()yfx()yfx00())(aadxffdxxxDecember,200400()()aafxdxfxdx推论0()[()()]aaafxdxfxfxdx()aafxdx证00()()aafxdxfxdx0()afxdx0()afxdx0[()()]afxfxdxDecember,20040()[()()]aaafxdxfxfxdx0()[()()]aaafxdxfxfxdx02()afxdxif()()fxfx0if()()0fxfx重要公式：02(),()()0,()aaafxdxfxfxdxfx当为偶函数当为奇函数December,2004aaaa120AA1212AAA02(),()()0,()aaafxdxfxfxdxfx当为偶函数当为奇函数1A2A1A2Awith(plots):f(x):=x*cos(x):a:=1:A:=plot(f(x),x=-a-0.2..a+0.2,thickness=3):B:=plot(f(x),x=-a..a,color=grey,filled=true):display(A,B,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);0()2()aaafxdxfxdx()0aafxdx几何解释December,2004例7若)(xf在]1,0[上连续，证明（1）2200)(cos)(sindxxfdxxf;（2）00)(sin2)(sindxxfdxxxf.由此计算02cos1sindxxxx.证思路20(sin)fdxx20(cos)fdxtsincos()2cosxtt2xt令December,200420(sin)fdxx20(cos)fdttsincos()2cosxtt2xt令dxdt02xt02xt20(sin)fdxx02(sin())()2ftdt20(cos)ftdt20(cos)fxdxDecember,20042200(sin)(cos)fxdxfxdx几何解释：sincos4yxyxx与关于对称with(plots):f(x):=cos(x):g(x):=sin(x):a:=Pi/2:A:=plot(f(x),x=0..a,thickness=3,color=blue):B:=plot(f(x),x=0..a,color=grey,filled=true):A1:=plot(g(x),x=0..a,thickness=3):B1:=plot(g(x),x=0..a,color=grey,filled=true):display(A,B,A1,B1,tickmarks=[0,0],scaling=constrained);42sinyxcosyxODecember,20042200(sin)(cos)fxdxfxdx(sin)(cos)4yfxyfxx与也关于对称42sin0.3xyecos0.3xyeODecember,200400(sin)(sin)2xfdxfdtxtsinsinsin()xttxt令dxdt0xt0xt0(sin)xxfdx0()(sin())()fttdt0()(sin)fdttt00(sin)(sin)fxdxxfxdxDecember,20040(sin)xxfdx0()(sin())()fttdt0()(sin)fdttt00(sin)(sin)fxdxxfxdx0(sin)xfxdx0(sin)2fxdxDecember,200400(sin)(sin)2xfxdxfxdx20sin1cosxxdxx20sin2sinxxdxx20sin22sinxdxx201cos21cosdxx0[arctan(cos)]2x[arctan(1)arctan1]2[]24424December,2004aaTT0另一个重要的结论证明：0()()aTTafxdxfxdxp.250，题9()()fxTfx证明并记住这个等式