构造函数法证明不等式的八种方法

1导数之构造函数法证明不等式1、移项法构造函数【例1】已知函数xxxf)1ln()(，求证：当1x时，恒有xxx)1ln(111【解】1111)(xxxxf∴当01x时，0)(xf，即)(xf在)0,1(x上为增函数当0x时，0)(xf，即)(xf在),0(x上为减函数故函数()fx的单调递增区间为)0,1(，单调递减区间),0(于是函数()fx在),1(上的最大值为0)0()(maxfxf，因此，当1x时，0)0()(fxf，即0)1ln(xx∴xx)1ln(（右面得证），现证左面，令111)1ln()(xxxg，22)1()1(111)(xxxxxg则当0)(,),0(;0)(,)0,1(xgxxgx时当时，即)(xg在)0,1(x上为减函数，在),0(x上为增函数，故函数)(xg在),1(上的最小值为0)0()(mingxg，∴当1x时，0)0()(gxg，即0111)1ln(xx∴111)1ln(xx，综上可知，当xxxx)1ln(111,1有时2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln21)(2xxxf求证：在区间),1(上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方；【解】设)()()(xfxgxF，即xxxxFln2132)(23，则xxxxF12)(2=xxxx)12)(1(22当1x时，)(xF=xxxx)12)(1(2从而)(xF在),1(上为增函数，∴061)1()(FxF∴当1x时0)()(xfxg，即)()(xgxf，故在区间),1(上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方。3、换元法构造函数证明【例3】证明：对任意的正整数n，不等式3211)11ln(nnn都成立.只需令xn1【解】令)1ln()(23xxxxh，则1)1(31123)(232xxxxxxxh在),0(x上恒正，所以函数)(xh在),0(上单调递增，∴),0(x时，恒有，0)0()(hxh即0)1ln(23xxx，∴32)1ln(xxx对任意正整数n，取3211)11ln(),0(1nnnnx，则有4、从条件特征入手构造函数证明【例4】若函数y=)(xf在R上可导且满足不等式x)(xf－)(xf恒成立，且常数a，b满足ab，求证：．a)(afb)(bf【解】由已知x)(xf+)(xf0∴构造函数)()(xxfxF，则)('xFx)(xf+)(xf0，从而)(xF在R上为增函数。ba∴)()(bFaF即a)(afb)(bf5、构造二阶导数函数证明导数的单调性例．已知函数21()2xfxaex(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)1+x解：(1)f′(x)＝aex－ｘ，∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立3记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e-x，当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０．知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e,∴a≥1/e,即a的取值范围是[1/e,+∞)(2)记F(X)=f(x)－(1+x)=)0(1212xxxex则F′(x)=ex-1-x,令h(x)=F′(x)=ex-1-x,则h′(x)=ex-1当x0时,h′(x)0,∴h(x)在(0,+∞)上为增函数,又h(x)在x=0处连续,∴h(x)h(0)=0即F′(x)0,∴F(x)在(0,+∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续,∴F(x)F(0)=0,即f(x)1+x．6.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例：证明当2111)1(,0xxexx时7.构造形似函数例：证明当abbaeab证明,例：已知m、n都是正整数，且,1nm证明：mnnm)1()1(强化训练：1、设xaxxxfaln2ln1)(,02求证：当1x时，恒有1ln2ln2xaxx42、已知定义在正实数集上的函数,ln3)(,221)(22bxaxgaxxxf其中a0，且aaabln32522，求证：)()(xgxf3、已知函数xxxxf1)1ln()(，求证：对任意的正数a、b，恒有.1lnlnabba4、)(xf是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足)()(xfxfx≤0，对任意正数a、b，若ab，则必有（）（A）af(b)≤bf(a)（B）bf(a)≤af(b)（C）af(a)≤f(b)（D）bf(b)≤f(a)5．设函数f（x）=emx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．6、已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，证明：对任意.7．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）当x∈（0，e]时，证明：．8．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．59.设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．（2）证明不等式：（n∈N*）．10．已知函数，其中a为实数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对任意的正整数m，n，不等式恒成立．11．设函数f（x）=lnx﹣﹣bx（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；12.已知函数f（x）=x2+2ax﹣a2lnx﹣1（1）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式2xlnx≤xf′（x）+a2+1恒成立，其中f′（x）f（x）是f（x）的导数，求实数a的取值范围．13.已知函数f(x)=lnxx－11.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；(Ⅱ)求证：当x∈(0,1)时，f(x)≥2(x+33x);(Ⅲ)设实数k使得f(x)k(x+33x)对x∈(0,1)恒成立，求k的最大值.614.设函数f(x)=axelnx+xbex1,曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处切线方程为y=e(x-1)+2.(Ⅰ)求a,b；(Ⅱ)证明：f(x)1.利用导数求函数单调性15.已知函数f(x)=xe-x－e-2x.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性(Ⅱ)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x0时，g(x)0,求b的最大值；16.函数f(x)=ln(x+1)-axax(a1)讨论f(x)的单调性17.已知函数f(x)=xcosx-sinx,x∈[0,2π]，求证：f(x)≤0；18、已知函数,，其中R.（1）讨论的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数,当时，若存在，对于任意的，总有成立，求实数的取值范围．19、已知函数.7（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.20、设函数表示的导函数，，（其中）（1）求的单调区间（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围21、已知函数,，其中R．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（Ⅲ）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．22、已知函数.(Ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率；(Ⅱ)求的单调区间；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围。