第2章 连续控制系统的机理建模

第2章连续控制系统的机理建模吉林大学仪器科学与电气工程学院随阳轶连续与离散控制系统主要内容•概述•微分方程及线性近似•框图模型及传递函数•状态变量模型•各种模型间的转换•系列设计举例2.1概述•为了理解和控制复杂系统，必须获得这些系统量化的数学模型，而此过程就称为建模。系统建模主要有三种方法：–机理建模：即“白箱”建模，利用系统的具体结构和其所遵循的内在规律(物理的、化学的规律等)经严格的推导而获得最终数学模型的方法。–辨识建模：即“黑箱”建模，利用实验的方法或者通过系统正常运行而获得其输入、输出的数据，从而采用能近似替代的模型。–“灰箱”建模：上两种的结合。机理建模的表达形式（一）•微分方程表述方式：由于所涉及的系统从本质上来说是动态的，因此可以用微分方程来描述它们。•传递函数表述方式：如果微分方程可以线性化，就可以利用拉普拉斯变换来处理，得到在初始松弛条件下定义的传递函数，它充分体现了系统的固有属性而与具体输入信号无关。经典控制理论中是以它为核心对系统进行研究的。机理建模的表达形式（二）•框图表达方式：不能独立地对系统进行分析或综合，但由于其具有极强的直观性，因而也作为一种模型方式。•状态方程表达方式：它是状态变量的一阶导数方程组。由于所选的状态变量不同，同一系统的状态方程可能是不同的，但其最终结果是一致的。解决动态系统问题的方法1.定义系统及其组成部分；2.建立数学模型并列出相关假设；3.写成描述模型的微分方程；4.解方程，并获得所需的输出变量；5.研究所求的解和假设；6.如果有必要，重新分析或重新设计系统。2.2.1微分方程•系统微分方程的建立步骤：1.列写原始方程组2.解原始方程组3.化成标准形式•设系统的输入变量为r(t)，输出变量为c(t)则系统微分方程具有一般形式为：)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn建立系统微分方程举例•例2.1系统如图所示。其中k为弹簧的刚度系数；f为阻尼器的粘性摩擦系数；m为物体的质量；F(t)为外施力；c(t)为物体的位移。忽略物体滑动摩擦力。求输出c(t)与输入F(t)的微分方程。kF(t)c(t)mf解题过程1.弹簧的弹性力其方向总和位移方向相反。)()(1tkctF2.阻尼器的阻尼力其方向总和位移方向相反。dttdcftF)()(23.根据牛顿第二定律有：2221)()()()(dttcdmmatFtFtF解题过程（续）4.消去中间变量F1(t)、F2(t)，并整理得。)()()()(22tFtkcdttdcfdttcdm此方程即为该系统的微分方程。进一步：求此机械系统的电模拟系统。2.2.2物理系统的线性近似•大部分的物理系统在变量的一定范围内是线性系统。然而，当变量无限增多时，所有的系统最终都变成非线性系统。•对于弹簧－质量－阻尼器系统，小偏移y(t)作用在质量上时，系统是线性的，如果y(t)不断增大，弹簧最终将失去弹性而折断。因此，必须考虑到每个系统的线性化的问题及应用范围。工作点附近的泰勒展开!)(!2)(!1)()()(0020022000nxxdxgdxxdxgdxxdxdgxgxgynxxnnxxxx假设函数在研究的范围内是连续的，可以在工作点附近使用泰勒级数，于是有：在相对工作点的偏移量(x-x0)附近的小范围内是对曲线本身的一个很好的近似。于是，作为合理的近似，上式变为：)()()()(00000xxkyxxdxdgxgxgyxx工作点附近的泰勒展开（续）如果变量y依赖于若干激励变量：x1,x2,…,xn，那么函数关系可以写做:),,,(21nxxxgy同理利用多元函数的泰勒展开，忽略高阶项后，线性近似写做：)()()(),,,(000022001100022211121nnxxnxxxxnxxxgxxxgxxxgxxxgynn线性近似举例•例2.2摆模型：考虑图(a)所示的摆，质量上的力矩为0Tθπ-ππ/2-π/2长度L质量Mθ(a)(b)sinMgLT线性近似举例（续1）质量的平衡位置是θ0=0o。T和θ之间的非线性关系如图(b)所示。平衡点处的一阶导数值提供了线性近似，即000sinMgLTT其中T0=0于是，有MgLMgLToo00cos该近似对±π/4内比较精确。例如，摆在通过±30o时线性模型的响应在实际非线性摆的响应的2℅范围内。多变量线性近似举例•例2.3在下列范围：5≤x≤7，10≤y≤12，对非线性方程进行线性化：z=xy，当x=5，y=10时，如果利用线性化方程计算z值，求其误差。解：根据给定的范围，选择工作点为：x0=6，y0=11，则z=66在工作点附近进行泰勒展开，并忽略高阶项0,0,00000yyyzxxxzzzyyxxyyxx多变量线性近似举例（续1）11661166yxz66611yxz当x=5，y=10，用线性化方程求出z值为49z正确值为50，因此误差为1，相对误差为2%2.3框图模型及传递函数•定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出的拉氏变换和输入的拉氏变换之比称为该系统的输出和输入间的传递函数。•初始条件为零有两层含义：其一是输入信号是在研究的时刻(0+)才加入的，其二是输出在研究时刻之前(0-)是静止的或称为平衡状态。框图的基本要素和基本连接（一）Gi(s)1.传输线：表示了信息的流动方向。2.增益：增益是系统某部分输出和输入之间的传递函数。3.比较环节：表示两个或多个信号算术运算关系的一种符号。4.分支：当一个信号送往多处作为输入时，用分支形式表示。框图的基本要素和基本连接（二）5.增益的串接：多个增益相串接，其总的增益为各增益之积。6.增益的并接：其总增益为各增益之和。++R(s)Y(s)G1(s)G2(s))()()()(21sRsGsGsYG1(s)G2(s)G3(s)A(s)Y(s))()()()()(321sAsGsGsGsY框图的基本要素和基本连接（三）7.反馈：其基本形式如下。－+R(s)Y(s)G1(s)F1(s))()()(1)()(111sRsFsGsGsY2.3.1系统框图的建立1.根据所给系统的联接方式和各部分的物理规律列写原始方程组。2.将原始方程组进行拉氏变换。3.对每个方程指定其输出变量并画出其对应的子方框图。4.将各子方框图联接成总方框图。框图建立的例子•例2.4制作例2.1的系统框图解：将原始方程组进行拉氏变换，得)()(1skCsF)()(2sfsCsF212()()()()FsFsFsmsCs框图建立的例子（续1）令C(s)做输出，则将方程改写为：)]()()([1)(212sFsFsFmssC其对应的子方框图如下：++--F1(s)F2(s)F(s)C(s)1ms2框图建立的例子（续2）根据F1、F2和C的关系，画出对应的子框图，按对应的变量名称连接，则最终系统框图为：++--F1(s)F2(s)F(s)C(s)1ms2kfs简单伺服系统举例负载C齿轮传动装置θK1马达TLaRaiaK1evcec反馈信号输出电位计rer输入电位计参考输入ev放大器误差测量装置输入装置例2.5简单伺服系统，工作原理如下：(1)系统的参考输入量：输入电位计电刷臂的角位置r，转化为电压rKer0简单伺服系统举例（续1）(2)输出电位计电刷臂的角位置c由输出轴的位置确定，转化为电压cKec0(3)用一对电位计作为系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置转变为与位置成比例的电信号。vcreee(4)电位计输出端上的误差电压被增益常数K1的放大器放大。放大器的输出电压作用到直流马达的电枢电路上，马达的励磁绕组上加有固定电压。简单伺服系统举例（续2）(5)如果出现误差信号，马达就会产生力矩，以带动输出负载旋转，并使误差减小到零。(6)对于固定的励磁电流，马达产生的力矩与电枢电流成正比：aiKT2(7)当电枢旋转时，在电枢中将感应出一定的电压，与角速度成正比dtdKeb3简单伺服系统举例（续3）试求马达转角位移θ与误差电压ev之间的传递函数，试求这个系统的方框图。此外，当La可以忽略时，求简化方框图。解：电枢控制式直流伺服马达的速度由电枢电压控制。vaeKe1电枢电流的微分方程为：abaaaaeeiRdtdiLvaaaaeKdtdKiRdtdiL13简单伺服系统举例（续4）马达力矩的平衡方程为：aiKTdtdbdtdJ20220J0为马达、负载和折合到马达轴上的齿轮传动装置组合的转动惯量;b0为马达、负载和折合到马达轴上的齿轮传动装置组合的黏性摩擦系数。简单伺服系统举例（续5）做拉氏变换，并消去Ia(s)，得传递函数：sKKbsJRsLsKKsEsaav320021))(()()(假设齿轮传动装置的传动比设计为：使得输出轴的转数是马达轴转数的n倍，因此)()(snsC另外，)()()()(00sEKsCsRKsEv简单伺服系统举例（续6）+K0K1K2s(Las+Ra)(J0s+b0)+K2K3snR(s)-E(s)Ev(s)Θ(s)C(s)+R(s)-C(s)Ks(Js+B)La很小可以忽略不计，传递函数sRKKbsJRnKKKKKbsJRsnKKKsGaaa320202103200210)()(2.3.2梅森公式•框图对表示输入和输出变量之间关系已经足够了，但相互关系比较复杂的系统，框图的化简工作任务繁重，甚至难以完成。•梅森公式是梅森在创建信号流图中提出的求取传递函数的方法，由于信号流图和框图并无本质的差别，故本课程以框图的形式进行介绍。2.3.2.1基本概念•回路和回路增益：在框图中由任何一点出发，沿信息流动方向(箭头所指方向)经过不重复的路径(每点仅经过一次)回到该点，则该路径称为一个回路。该回路所经过的各增益、比较环节符号之积称为该回路的增益。•互不接触回路及其增益：如果两个回路没有任何公共点称为两个回路之间互不接触，简称两个互不接触回路。两个互不接触回路各回路增益之积称为两个互不接触回路增益。同理三个回路之间均无公共点称为三个互不接触回路，其各回路增益之积称为三个互不接触回路增益。以此类推。基本概念（二）•设系统共有个回路，则：若存在若干个两个互不接触回路，所有的两个互不接触回路增益之和记为N2(s)；若存在若干三个互不接触回路，所有的三个互不接触回路增益之和记为N3(s)；如此类推。•约定：一个回路称自身为一个互不接触回路，其增益称为一个互不接触回路增益。•那么具有个回路的系统各种互不接触回路增益的总和：1)(llsN基本概念（三）设系统有个回路，其系统的特征式表示为：1()1(1)()lllsNs前向通道及其增益：由输入沿信息流动方向不重复地到达输出的一个途径称为一个前向通道。该途径所经诸增益及比较环节符号的乘积称为该前向通道增益。记为)(sQi基本概念（四）•前向通道的余子式：对于某个前向通道，在特征式中令与其相接触的所有回路增益为零，则剩余的式子称为该前向通道的余子式。记第i条前向通道的余子式为•如果一条前向通道和所有回路都接触，其余子式一定为1；如果一个前向通道和所有回路都不接触，其余子式一定等于特征式。)(si2.3.2.2梅森公式•设方框图的输入为R(s)，输出为C(s)，则传递函数为：hiiissQssRsC1)()()(1)()(1()1(1)()jjjsNs用梅森公式求取传递函数的步骤1.确定框图的回路及其增益；2.确定互不接触回路及其增益；3.求取特征式；4.确定前向通道增益及其余子式；5.代