江苏省无锡市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共70分）.1．若直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，则实数a的值为．2．设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v（t）=3t2﹣1米/秒，则在2秒是加速度为米/秒2．3．圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的位置关系是．4．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1=2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．5．设两条直线x+y﹣2=0，3x﹣y﹣2=0的交点为M，若点M在圆（x﹣m）2+y2=5内，则实数m的取值范围为．6．若点A（﹣6，y）在抛物线y2=﹣8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为．7．已知一个圆锥的侧面积是50πcm2，若母线与底面所成角为60°，则此圆锥的底面半径为．8．如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3大小关系为．9．给出下列三个命题：①若命题p：2是实数，命题q：2是奇数，则p或q为真命题；②记函数f（x）是导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则f（x0）是f（x）的极值；③“a=3”是“直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行“的充要条件．则真命题的序号是．10．设f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x），则f′（）=．11．（理）设向量=（2，2s﹣2，t+2），=（4，2s+1，3t﹣2），且∥，则实数s+t=．12．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，有以下结论：①GH与EF平行；②BE与MN为异面直线；③GH与AF成60°角；④MN∥平面ADF；其中正确结论的序号是．13．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长FM交双曲线右支于点P，若M为FP的中点，则双曲线的离心率是．14．已知f（x）=ax+，g（x）=ex﹣3ax，a＞0，若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为．15．已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0（C为圆心）的周长，设直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，过点P（6，9）作l的垂线，垂足为H，则线段CH长度的取值范围是．二、解答题：本大题共7小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（14分）设直线l1：mx﹣2my﹣6=0与l2：（3﹣m）x+my+m2﹣3m=0．（1）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB且AD=AB=BP=BC．（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）已知点Q在PC上，若AC与BD交于点O，且AP∥平面BDQ，求证：OQ∥平面APD．18．（14分）已知直线l：y=2x+n，n∈R，圆M的圆心在y轴，且过点（1，1）．（1）当n=﹣2时，若圆M与直线l相切，求该圆的方程；（2）设直线l关于y轴对称的直线为l′，试问直线l′与抛物线N：x2=6y是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由．19．（16分）（文科）已知m∈R，集合A={m|m2﹣am＜12a2（a≠0）}；集合B={m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆}，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．20．（理科）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且=λ．（1）若λ=，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若二面角D1﹣CE﹣D为π，求λ的值．21．（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣2，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣3=0，求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，求正实数a的取值范围．22．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，过C的左焦点F1，且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是点C上异于A，B的任意一点，直线AP交直线l于点Q．①设直线OQ，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；②当点P运动时，试判断点Q与以BP为直径的圆的位置关系？并证明你的结论．2016-2017学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共70分）.1．若直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，则实数a的值为3．【考点】直线的倾斜角．【分析】由题中线的倾斜角和斜率的关系得到a．【解答】解：因为直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，所以直线的斜率为tan45°=a﹣2=1，所以a=3；故答案为：3．【点评】本题考查了直线的倾斜角．直线的倾斜角为α，那么它的斜率为tanα（α≠90°）．2．设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v（t）=3t2﹣1米/秒，则在2秒是加速度为12米/秒2．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】利用导数的物理意义，可知t=2时物体的加速度为即为v'（2），然后利用导数求解即可．【解答】解：∵v（t）=3t2﹣1，∴v'（t）=6t，根据导数的物理意义，可知t=2时物体的加速度为即为v'（2），∴v'（2）=6×2=12，故答案为：12．【点评】本题主要考查导数的物理意义，以及导数的基本运算，比较基础．3．圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距为5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，可得两个圆的位置关系为相交．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0，即（x+2）2+（y﹣2）2=16，表示以（﹣2，2）为圆心、半径等于4的圆．圆x2+y2﹣2x+4y+1=0，即（x﹣1）2+（y+2）2=4，表示以（1，﹣2）为圆心、半径等于2的圆．两个圆的圆心距为d==5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，故两个圆的位置关系为相交，故答案为：相交．【点评】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系的判定方法，属于基础题．4．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1=2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由CC1∥BB1，知∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，由此能求出异面直线BD1与CC1所成角的正切值．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1∥BB1，∴∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，设AA1=2AB=2，则B1D1=，BB1=2，∴tan∠B1BD1==．∴异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．设两条直线x+y﹣2=0，3x﹣y﹣2=0的交点为M，若点M在圆（x﹣m）2+y2=5内，则实数m的取值范围为（﹣1，3）．【考点】点与圆的位置关系．【分析】求出两条直线的交点坐标，以及圆的圆心的距离小于半径，求解即可得答案．【解答】解：由题意可知：，解得，交点（1，1），交点M在圆（x﹣m）2+y2=5的内部，可得（1﹣m）2+1＜5，解得﹣1＜m＜3．∴实数m的取值范围为：（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．【点评】本题考查点与圆的位置关系的应用，考查计算能力，是基础题．6．若点A（﹣6，y）在抛物线y2=﹣8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线y2=﹣8x的准线方程为x=2，该抛物线的一点A到y轴距离为6，则点A到准线的距离为6+2=8，再由抛物线的定义可得|AF|的值．【解答】解：由于抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0），其准线方程为x=2，该抛物线的一点A到y轴距离为6，则点A到准线的距离为6+2=8，再由抛物线的定义可得|AF|=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．7．已知一个圆锥的侧面积是50πcm2，若母线与底面所成角为60°，则此圆锥的底面半径为5．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为R，则母线长为2R，利用圆锥的侧面积是50πcm2，求出此圆锥的底面半径．【解答】解：设圆锥的底面半径为R，则母线长为2R，∵圆锥的侧面积是50πcm2，∴50π=π×R×2R，解得R=5cm．故答案为5．【点评】本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用，掌握公式是关键．8．如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3大小关系为S2＜S3＜S1．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设球的半径为R，正方体的棱长为a，等边圆柱的底面半径为r，且它们的体积都为V，则V=，由此能比较S1，S2，S3大小．【解答】解：设球的半径为R，正方体的棱长为a，等边圆柱的底面半径为r，且它们的体积都为V，则V=，解得，a=，r=，∴S1=6×a2=6（）2=6=，S2=4πR2=4π（）2=，S3=2π=．∴S2＜S3＜S1．故答案为：S2＜S3＜S1．【点评】本题考查正方体、球与等边圆柱的表面积的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体、球与等边圆柱的体积和表面积的性质的合理运用．9．给出下列三个命题：①若命题p：2是实数，命题q：2是奇数，则p或q为真命题；②记函数f（x）是导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则f（x0）是f（x）的极值；③“a=3”是“直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行“的充要条件．则真命题的序号是①．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，由命题p为真，得p或q为真命题；②，例如函数f（x）=x3满足f′（0）=0，但f（0）不是f（x）的极值；③，当a=0时，直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行；【解答】解：对于①，因为命题p为真，∴p或q为真命题，故正确；对于②，例如函数f（x）=x3满足f′（0）=0，但f（0）不是f（x）的极值，故错；对于③，当a=0时，直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行，故错；故答案为：①【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．10．（文）设f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x），则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】先求导，再代值计算即可．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x）=cosx+2sinx，∴f′（）=cos+2sin=﹣+2×=，故答案为：【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值得求法，属于基础题．11．（2016秋•无锡期末）（理）设向量=（2，2s﹣2，t+2），=（4，2s+1，3t﹣2），且∥，则实数s+t=．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴存在实数k，使得=k，则，解得k=，s=，t=6．∴s+t=．故答案为：．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，