2015高中数学 第1部分 1.1.2余弦定理课件 新人教A版必修5

1.11.1.2余弦定理理解教材新知突破常考题型跨越高分障碍第一章题型一题型二题型三知识点应用落实体验随堂即时演练课时达标检测题型四1．1.2余弦定理正弦定理在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°.问题1：这个三角形确定吗？提示：确定．问题2：你能利用正弦定理求出BC吗？提示：不能[提出问题]问题3：能否利用平面向量求边BC？如何求得？提示：能．∵BC＝BA＋AC∴BC2＝BA2＋AC2＋2BA·AC＝BA2＋AC2－2BAACcosA＝4＋9－2×2×3cos60°＝7∴BC＝7问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b，c，A表示a?提示：能．[导入新知]余弦定理余弦定理公式表达a2＝，b2＝，c2＝_______________余弦定理语言叙述三角形中任意一边的平方等于___________________________________________________________________推论cosA＝，cosB＝，cosC＝____________b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab[化解疑难]对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．已知三角形的三边解三角形[例1]在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶2，求A，B，C.[解]由于a∶b∶c＝1∶3∶2，可设a＝x，b＝3x，c＝2x.由余弦定理的推论，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝3x2＋4x2－x22×3x×2x＝32，故A＝30°.同理可求得cosB＝12，cosC＝0，所以B＝60°，C＝90°.[类题通法]已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．[活学活用]1．边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角的和是________．解析：设中间角为θ，由于8＞7＞5，故θ的对边的长为7，由余弦定理，得cosθ＝52＋82－722×5×8＝12.所以θ＝60°，故另外两角和为180°－60°＝120°.答案：120°已知三角形的两边及其夹角解三角形[例2]在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，c＝4(3＋1)，解此三角形．[解]由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos60°＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b＝46.法一：由cosA＝b2＋c2－a22bc＝96＋163＋12－642×46×43＋1＝22，∵0°＜A＜180°，∴A＝45°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.法二：由正弦定理asinA＝bsinB，∴8sinA＝46sin60°，∴sinA＝22，∵b＞a，c＞a，∴a最小，即A为锐角．因此A＝45°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.[类题通法]已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．[活学活用]2．在△ABC，已知a＝22，b＝23，C＝15°，解此三角形．解：c2＝a2＋b2－2abcosC＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°)＝8－43＝(6－2)2∴c＝6－2.法一：由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝232＋6－22－2222×23×6－2＝22.∵0°＜A＜180°，∴A＝45°，从而B＝120°.法二：由正弦定理得sinA＝asinCc＝22×6－246－2＝22.∵a＜b，∴A＜B，又0°＜A＜180°，∴A必为锐角，∴A＝45°，从而得B＝120°.[例3]在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A、角C和边a.[解]法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由正弦定理得sinA＝asinBb＝6×123＝1.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形∴A＝90°，∴C＝60°.法二：由b＜c，B＝30°，b＞csin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sinC＝csinBb＝33×123＝32，∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°，△ABC为直角三角形．由勾股定理得a＝b2＋c2＝32＋332＝6，当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.[类题通法]已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．[活学活用]3．已知：在△ABC中，cosA＝35，a＝4，b＝3，则c＝________.解析：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴16＝9＋c2－6×35c，整理得5c2－18c－35＝0.解得c＝5或c＝－75(舍)．答案：5判断三角形的形状[例4]在△ABC中，若acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．[解]由余弦定理可得a·b2＋c2－a22bc＋b·a2＋c2－b22ac＝c·a2＋b2－c22ab等式两边同乘以2abc得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2)，整理化简得a4＋b4－2a2b2＝c4，∴(a2－b2)2＝c4.因此有a2－b2＝c2或b2－a2＝c2.即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2故△ABC为直角三角形．[类题通法]判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．[活学活用]4．在△ABC中，若cosA＝sinBsinC，试判断其形状．解：由cosA＝sinBsinC得cosA＝bc，即b2＋c2－a22bc＝bc，∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，因此△ABC是以C为直角的直角三角形．1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长[典例]如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求出BC的长．[解题流程]要求BC的长，应确定BC所在的三角形中的数量关系．由△ABD中的AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，可利用余弦定理解此三角形，从而求得BD的长；由AD⊥CD，可得∠BDC＝30°，△BCD中可知两角一边，可解此三角形．1.△ABD―――――→余弦定理2.求BD的长――――→正弦定理3.求BC的长[规范解答]设BD＝x.在△ABD中，根据余弦定理，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠BDA，∴142＝102＋x2－2×10×xcos60°，即x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16.∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°.在△BCD中，由正弦定理，BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，∴BC＝16sin30°sin135°＝82.[名师批注]将四边形ABCD分解为两个△ABD和△BCD，利用余弦定理列出关于x的一元二次方程，化简方程时易出错，应注意步骤及计算的准确性．由AD⊥CD，∠BDA＝60°得∠CDB＝30°，学生有时不易想到．[活学活用]如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.解：在△ADC中，cosC＝AC2＋DC2－AD22·AC·DC＝72＋32－522×7×3＝1114.又∵0°＜C＜180°，∴sinC＝5314.在△ABC中，ACsinB＝ABsinC，∴AB＝sinCsinB·AC＝5314·2·7＝562.[随堂即时演练]1．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝3b＝12，则c的值为()A．4B．8C．4或8D．无解解析：由3a＝3b＝12，得a＝4，b＝43，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.答案：C2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c2－a2－b22ab＞0，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形答案：C解析：由c2－a2－b22ab＞0得－cosC＞0，所以cosC＜0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．3．(2012·陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________.解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b＝2.答案：24．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，则最大的角是________．解析：∵a＞c＞b，∴A为最大角．cosA＝b2＋c2－a22bc＝32＋52－722×3×5＝－12，又∵0°＜A＜180°，∴A＝120°.答案：120°5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．解：5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.∴x1＝35，x2＝－2(舍去)．∴cosC＝35.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c＝4，即第三边长为4.