第七讲 矩形波导

波导的一般解采用纵向分量法，其流图如下所示，上式也称Helmholtz方程支配方程222200EkEHkH纵向分量方程222200EkEHkHzzzz其它分量用表示EHEfEHEfEHHfEHHfEHzxzyzxzyz,,,,,,1234方程无源区中出发点Maxwell图7-1波导一般解流图第七讲矩形波导1.纵向分量方程(12-3)假定Ez(或Hz)可分离变量，也即(12-4)且一、矩形波导的求解思路(12-5)222200EkEHkHzzzzEExyZzHHxyWzzz(,)()(,)()2222tZ代入可知(12-6)由于其独立性，上式各项均为常数(12-7)2222(,)1()0(,)()tExyZzkExyZzz222221()()(,)0(,)tcZzZzzExykExy222ckkEExyeHHxyezzzz(,)(,)一、矩形波导的求解思路2000010000xxxyxxcyxExEjEEjyHjHkxHjHy并有注意到Ez和Hz的横向函数要依赖具体的边界条件。一、矩形波导的求解思路二、矩形波导的横向解在矩形波导中存在TE和TM两类波，请注意矩形波导中不可能存在TEM波(推而广之，任何空心管中都不可能存在TEM波)。这里以TE波为例作出讨论，即Ez=0，对于纵向分量只须讨论Hz，计及txy222220),(),(22ctkyxHyxH二、矩形波导的横向解则矩形波导的横向解是22222HxyxHxyykHxyc(,)(,)(,)(12-17)图12-2矩形波导坐标系xzya0bem二、矩形波导的横向解再令H(x，y)可分离变量，即H(x，y)=X(x)Y(y)1122222XXxYYykc还令每项都是常数(Constant)，可得11222222222XXxkYYykkkkxyxyc(12-18)二、矩形波导的横向解XAkxxxcos()YkyyBycos()HHkxkyezxxyyz0cos()cos()一般可写出：总的可写出下面的主要任务是利用边界条件确定kx，ky，和kc。请注意：H0与激励强度有关。(12-19)二、矩形波导的横向解根据横向分量可以用纵向分量表示，有EjkHyHjkkkxkyeEjkHxHjkkkxkyexczcyxxyyzyczcxxxyyz202202cos()sin()sin()cos()二、矩形波导的横向解边界条件x=0，x=a，Ey=0y=0，y=b，Ex=0xExaEkamyxyx0000,,,,可得可得kmamx,整数yEyaEkanxyxy0000,,,,可得可得knany,整数三、矩形波导的解HHmanbeEjknbHmaxnbyeEjkmaHmaxnbyeEHkmaHmaxzzxczyczzxc02020200coscoscossinsincossincoscossinnbyeHknbHmaxnbyezycz20最后得到TE波的解(12-20)通过对偶可得到TM波的解：三、矩形波导的解kkkmanbcxy22222其中，上面称为TEmn波m——表示x方向变化的半周期数(即小→大→小)n——表示y方向变化的半周期数。(12-21)三、矩形波导的解关于简正波的讨论：以矩形波导为例，尽管在z方向它们只可能是入射波加反射波(即还是广义传输线)，但是由于横向边界条件它们由TEmn和TMmn波组成并且它们只能由TEmn和TMmn波组成(后者，我们称之为完备性)，矩形波导中这些波的完备集合——即简正波。任何情况的可能解，只能在简正波中去找，具体场合所不同的仅仅是比例和组合系数，事实上，这样就把求复杂场函数的问题变换成求各个模式的系数。三、矩形波导的解rxiyjzk这种思想，最早起源于矢量分析，任何空间矢量xyz0r(x,y,z)图12-3VectorAnalysis方向与大小均不相同，但是建立x，y，z坐标系之后，任一(三维)矢量即归结为三个系数四、TE10波矩形波导中频率最低模式，也即我们要工作的传输主模式即TE10波，m=1，n=0，若传播常数无耗γ=jβ。HHaxeEjkaHaxeHjkaHaxezjzycjzxcjz02020cossinsinHHaxtzEkaHaxtzHkaHaxtzzyxc02020coscos()sinsin()sinsin()四、TE10波场结构的画法上要注意：•场存在方向和大小两个不同概念，场的大小是以力线密度表示的•同一点不能有两根以上力线•磁力线永远闭合，电力线与导体边界垂直•电力线和磁力线相互正交四、TE10波xxyzzyzz000000xaab0xHzHxEyH图12-4TE10波场结构五、TE10波的参数22ccak(1)TE10波的截止特性222222cxymnkkkabac1f2222ckccaaa截止波长截止频率截止波数五、TE10波的参数(2)波导波长λg22112gca=＞(12-24)2g设传播常数222222cg五、TE10波的参数(3)相速υppCaC122＞(12-25)(4)群速υggpcca2212＜CgpC2五、TE10波的参数EHEHattyxg02112(5)波型阻抗注记：在TE10波各参数中唯独波型阻抗要特别讨论。(12-29)六、矩形波导中的简正波方程通解Maxwell矩形波导波波TETMmnmn传输波雕落波矩形波导的求解是典型的微分方程法，通解表明：在z方向它有广义传输线功能，即是入射波和反射波的迭加；在xy方向由于边界条件限制形成很多分立的TEmn波(Ez=0)和TMmn波(Hz=0)。在物理上称之为离散谱。有限边界构成离散谱。m—x方向变化的半周期数；n—y方向变化的半周期数。矩形波导中TE波和TM波的全部集体构成简正波。六、矩形波导中的简正波简正模(或简正波)理论包含三个方面：1.完备性矩形波导中不论放置什么障碍物和边界条件，它们里边存在的是TEmn和TMmn模式，而且，它们也只能存在TEmn和TMmn模式，具体情况所不同的仅仅是各种模式的比例与组合。六、矩形波导中的简正波2.正交性简正模中各个模式是相互正交的，也就是说，它们之间没有功率和能量交换，即各模式相互独立，在Fourier分析中表明0sincossin0sincossin00pmdyybpybnlmdxxalxamba这就保证了每一模的独立性。(14-1)六、矩形波导中的简正波3.传输模和雕落模由于频率的选择，每一种模都有可能成为传输模或雕落模。22222bnamkkkyxc截止波数222bnamc截止波长六、矩形波导中的简正波传输模＜cmn雕落模＞cmnejzc2120zEezcc212六、矩形波导中的简正波注意到雕落模(也称截止模)，它是一种快速衰减的振荡模式。也就是说，在不同的z处，有同一相位。当然，雕落模式没有功率和能量传播。当模式不同，但却有相同的kc，我们称为简并模式。最后显示的是TEmn和TMmn是简并(Degeneration)的。六、矩形波导中的简正波七、TE10波单模存在条件当ba时，m=1，n=0的λc最大。(或者说fc最低)TE10波——称为矩形波导的主模(或者优势模)，在绝大多数传输的应用场合我们都希望只传输TE10波，而其它模式都成雕落模而不传输。TE10波单模存在条件是cmnc＜＜10其中，λc10=2a，次最大的λcmn将与a/b之比值有关。(14-2)对于标准波导ab/.22cmnamn248422.aa＜＜2在这种情况下其中，m，n取任意正整数，显然，对式(14-4)，取m=2，n=0比n=1，m=0的λc要大。因此，除TE10波之外，第二模是20模(14-5)(14-4)(14-3)七、TE10波单模存在条件此时TE10波单模存在条件是：［例1］BJ-100波导，a×b=22.86×10.16mm2，求单模传输的波长范围和频率范围。［解］已经知道单模传输条件是λcmn＜λ＜2aca1024572.mmca202286.mmcb0122032.mm七、TE10波单模存在条件cab112221118mmca30231525.mmcab21222211510.mm七、TE10波单模存在条件十分明显，第二模式是λc20=22.86mm。因此，单模传输228645726551310....mmmm＜＜＜＜GfGCC102050mm3040H10H20H01E21E11H21H11H30,,截止区域?单模工作区图14-1(14-6)七、TE10波单模存在条件八、高次模对于矩形波导用作传输线时，TE10波是主模，传输模。其它模式都是高次模，雕落模。在均匀波导中不出现任何高次模，但是一旦波导中有不均匀性，则在不均匀性周围就有高次模存在。高次模是衰减的模式。其中ac212(14-9)22,1zazcee八、高次模涡旋图14-3流体中的涡旋jB图14-4不均性中高次模对于主模相当于jB。