大学经典课件之高等数学――8-6方向导数和梯度

第八章第六节机动目录上页下页返回结束方向导数和梯度一、方向导数二、梯度的概念然而，在实际问题中还要经常会遇到在其它方向上的变化率的问题。一、方向导数机动目录上页下页返回结束我们知道，函数),(yxfz=在点),(00yx处的两个偏导数),(00yxfx′和),(00yxfy′分别刻划了函数),(yxf在该点处沿x轴和y轴正方向上的变化率。问题：函数),(yxfz=在其它方向上的变化率如何刻划？——方向导数方向导数的定义),(),(yxPyxfz在点设函数=机动目录上页下页返回结束lαP′•xΔyΔ•oyx•P是过内有定义，的某一邻域lPUr)(),(),(PUPyyxxP∈′Δ+Δ+′使，一点,)()(22yxΔ+Δ=ρ记的平均变化率沿lr上任取的任意确定方向。在点lPr点在于是得到函数Pyxf),(ρρ),(),(yxfyyxxfzl−Δ+Δ+=Δr.),(),(lim0ρρyxfyyxxflz−Δ+Δ+=∂∂→r，上式的极时即时趋于沿着方向若当)0(→′ρPlPr机动目录上页下页返回结束沿方在点则称此极限值为函数，限存在Pyxfz),(=ρρ),(),(yxfyyxxfzl−Δ+Δ+=Δr记为的方向导数向,lrlαP′•xΔyΔ•oyx•P,)()(22yxΔ+Δ=ρxzy0lρΔyΔxρΔzρρzlzlPrrΔ=∂∂→0limP´Pz=f(x,y)0x0yρρ),(),(lim00000yxfyyxxf−Δ+Δ+=→Qρρ)()(lim0PfPf−′=→M是曲面在点P处沿方向l的变化率，即半切线Plzr∂∂MN方向导数.方向导数的几何意义的斜率N机动目录上页下页返回结束定理如果函数),(yxfz=在点),(yxP可微，那么函数在该点沿任意方向lr的方向导数都存在，且有βαcoscosPPPyzxzlz∂∂+∂∂=∂∂r其中αcos，βcos是方向lr的方向余弦。证明由于函数可微，则增量可表示为)(),(),(ρoyyzxxzyxfyyxxf+Δ∂∂+Δ∂∂=−Δ+Δ+两边同除以,ρ得到)(22yxΔ+Δ=ρ机动目录上页下页返回结束αcosβcosρρρρρ)(),(),(oyyzxxzyxfyyxxf+Δ⋅∂∂+Δ⋅∂∂=−Δ+Δ+故有方向导数ρρ),(),(lim0yxfyyxxf−Δ+Δ+→.coscosβαyzxz∂∂+∂∂==∂∂lzr机动目录上页下页返回结束.sincosααyzxz∂∂+∂∂=lαP′•xΔyΔ•oyx•Pβ其中α为从x轴的正向逆时针转到lr所转过的角度。（1）在偏导数存在的情况下，当lr为x轴正向时，0=α，2πβ=，则有说明：机动目录上页下页返回结束xzlz∂∂=∂∂r因此，函数),(yxfz=在点P沿着x轴正向}0,1{1=er的方向导数就是函数),(yxfz=在该点处对x的偏导数xz′；同理，函数),(yxf在点P沿着y轴正向}1,0{2=er的方向导数就是函数),(yxfz=在该点处对y的偏导数yz′。（2）在偏导数存在的情况下，函数),(yxfz=在点P沿着x轴负向，y轴负向的方向导数分别是yxzz′−′−,。（3）函数),(yxfz=在点P沿着x轴正向}0,1{1=er，y轴正向}1,0{2=er的方向导数存在，推不出),(,),(0000yxzyxzyx′′一定存在机动目录上页下页返回结束（4）设从x轴的正向逆时针转到方向lr的角度为α(称为lr的极角)，则沿lr的方向导数为lzr∂∂.sincosααyzxz∂∂+∂∂=例1：讨论函数22),(yxyxfz+==在)0,0(点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？xfxfxzxΔ−Δ=∂∂→Δ)0,0()0,(lim0)0,0(.||lim0xxxΔΔ=→Δ同理：)0,0(yz∂∂yyyΔΔ=→Δ||lim0故两个偏导数均不存在.解：机动目录上页下页返回结束沿任意方向},{yxl=r的方向导数,ρρ)0,0(),(lim0)0,0(fyxflz−ΔΔ=∂∂→r1)()()()(lim22220=Δ+ΔΔ+Δ=→yxyxρ故沿任意方向的方向导数均存在且相等.例2求函数yxez2=在点)0,1(P处沿从点)0,1(P到点)1,2(−Q的方向的方向导数.解;1)0,1(2)0,1(==∂∂yexzQ,22)0,1(2)0,1(==∂∂yxeyz所求方向导数)0,1(coscosβαyzxz∂∂+∂∂=)0,1(lzr∂∂.22−=这里方向lr即为}1,1{−=PQ,机动目录上页下页返回结束}21,21{0−=PQ)21(2211−⋅+⋅=设x轴的正方向到lr的转角为ϕ，求函数22),(yxyxyxf+−=在点)1,1(沿方向lr的方向导数，并确定ϕ，使这导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零。例3.解：)1,1()1,1()sincos(ϕϕyfxflf∂∂+∂∂=∂∂r)1,1(]sin)2(cos)2[(ϕϕyxyx+−+−=ϕϕsincos+=)4sin(2πϕ+=,4524时；方向导数有最大值，时当πϕπϕ==;2−有最小值为等于零。，时，4743πϕπϕ==机动目录上页下页返回结束例4求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=22221byaxz在点)2,2(baP处沿曲线12222=+byax在此点内法线方向上的方向导数。解曲线12222=+byax在点P处切线的斜率为aby−=′则法线的斜率为,ba从而法线的方程为，)2(2axbaby−=−abybax22−=−即机动目录上页下页返回结束则法向量为,},{abn±=r内法向量为},{abn−−=r方向余弦为,cos22bab+−=α,cos22baa+−=β又,222aaxxzPP−=−=∂∂bbyyzPP222−=−=∂∂故所求方向导数为))(2())(2(2222baabbabanzP+−−++−−=∂∂r)(2122baab+=机动目录上页下页返回结束对于三元函数),,(zyxfu=，它在空间一点),,(zyxP沿着方向lr的方向导数，可定义为,),,(),,(lim0ρρzyxfzzyyxxflf−Δ+Δ+Δ+=∂∂→r三元函数方向导数的定义机动目录上页下页返回结束))()()((222zyxΔ+Δ+Δ=ρ其中同理：当函数在此点可微时，函数在该点沿任意方向lr的方向导数都存在，且有.coscoscosγβαzfyfxflf∂∂+∂∂+∂∂=∂∂r其中αcos，βcos，γcos是lr的方向余弦二、梯度?:最快的沿哪一方向变化率增加函数在点问题P机动目录上页下页返回结束,cos)()(22θxfxf∂∂+∂∂=显然当1cos=θ，即0=θ时，lfr∂∂有最大值。设}cos,{cosβα=er是方向lr上的单位向量，则)},({,eyfxfr∂∂∂∂=θ其中即沿方向},{yfxf∂∂∂∂函数的变化率增加最快βαcoscosyfxflf∂∂+∂∂=∂∂r}cos,{cos},{βα⋅∂∂∂∂=yfxf定义：设函数),(yxfz=在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP∈),(，都可定出一个向量},{yfxf∂∂∂∂，这向量称为函数),(yxfz=在点),(yxP的梯度，记为：=),(yxgradf},{yfxf∂∂∂∂。机动目录上页下页返回结束结论：函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，即：沿梯度的方向函数的变化率增加最快。而梯度的模为方向导数的最大值。梯度的模为22|),(|⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=yfxfyxgradf(gradient)例5设yxeyxfz==),(，（1）求出),(yxf在点)0,2(P处沿从P到)2,21(Q方向的变化率；（2）),(yxf在点)0,2(P处沿什么方向具有最大的增长率，最大的增长率是多少？机动目录上页下页返回结束)0,2()0,2(coscos⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂βαyzxzQPfrr}54,53{0−=PQ)0,2()0,2(yexz=∂∂解：(1)}2,23{−=PQ,1=)0,2()0,2(yxeyz=∂∂2=542)53(1⋅+−⋅=1=例5设yxeyxfz==),(，（1）求出),(yxf在点)0,2(P处沿从P到)2,21(Q方向的变化率；（2）),(yxf在点)0,2(P处沿什么方向具有最大的增长率，最大的增长率是多少？机动目录上页下页返回结束5)0,2(=gradf}21{，=大的增长率函数沿梯度方向具有最解：(2))0,2(},{)0,2(yzxzgradf∂∂∂∂=)0,2(},{yyxee=具有最大的增长率，函数沿方向}2,1{.5最大的增长率为等高线的画法播放播放机动目录上页下页返回结束),(yxfz=在几何上该曲面被平面cz=,),(⎩⎨⎧==czyxfz面上的投影在xoycyxfL=),(:*称为函数f的等高线.所截得的曲线表示一个曲面复习:平面曲线的切线与法线若平面光滑曲线方程为,0),(=yxF),(),(ddyxFyxFxyyx′′−=故在点),(00yx切线方程法线方程)(0yy−),(00yxFy′+)(),(000xxyxFx−′0=有因0)(),(000=−′−yyyxFx),(00yxFy′)(0xx−机动目录上页下页返回结束),(),(000000yxFyyyxFxxyx′−=′−即梯度与等高线的关系：向导数．数在这个法线方向的方度的模等于函，而梯向数值较高的等高线较低的等高线指数值的一个方向相同，且从在这点的法线的等高线向与点的梯度的方在点函数cyxfPyxPyxfz==),(),(),(oyx2),(cyxf=1),(cyxf=cyxf=),(等值（高）线),(},{yxgradfffnyx=′′=r梯度为等高线上的法向量P机动目录上页下页返回结束)(21ccc设三元函数),,(zyxfu=在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP∈),,(，都可定义一个向量(梯度).),,(kzfjyfixfzyxgradfrrr∂∂+∂∂+∂∂=类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数机动目录上页下页返回结束类似地，设曲面czyxf=),,(为函数),,(zyxfu=的等量面，此函数在点),,(zyxP的梯度的方向与过点P的等量面czyxf=),,(在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.机动目录上页下页返回结束梯度的基本运算公式0grad(1)r=CuCuCgrad)(grad(2)=vuvugradgrad)(grad(3)±=±uvvuvugradgrad)(grad(4)+=uufufgrad)()(grad(5)′=例6求函数yxzyxu2332222−+++=在点)2,1,1(处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradurrr∂∂+∂∂+∂∂=),,(,6)24()32(kzjyixrrr+−++=故.1225)2,1,1(kjigradurrr++=在)0,21,23(0−P处梯度为0.机动目录上页下页返回结束解?,,),,(0000222222模此方向导数等于梯度的具有什么关系时的方向导数，问的向径处沿点在点求cbarzyxMczbyaxur++=例7{},,,,20202000000zyxrzyxr++==rrQ.cos,cos,cos000000rzryrxrrr===γβα处的方向导数为在点M∴γβαcoscoscos0MMMMzuyuxuru∂∂+∂∂+∂∂=∂∂r机动目录上页下页返回结束002000200020222rzczrybyrxaxrrr++=0020002000200222rzczrybyrxaxruMrrrr++=∂∂)(22222220000czbyaxr++=r).(2220220222020200czbyaxzyx++++=处的梯度为在点函数Mu∴kzujyui