大学考研数学分析笔记

全国考研专业课高分资料大学《数学分析》笔记笔记：目标院校目标专业本科生笔记或者辅导班笔记讲义：目标院校目标专业本科教学课件期末题：目标院校目标专业本科期末测试题2-3套模拟题：目标院校目标专业考研专业课模拟测试题2套复习题：目标院校目标专业考研专业课导师复习题真题：目标院校目标专业历年考试真题，本项为赠送项，未公布的不送！2/181《考研专业课高分资料》目录第二模块笔记.................................................................................................................................3第一部分实数集与函数.........................................................................................................3第二部分数列极限................................................................................................................8第三部分函数极限..............................................................................................................10第四部分函数连续性...........................................................................................................15第五部分导数与微分..........................................................................................................30第六部分微分中值定理及其应用.......................................................................................36第八部分不定积分...............................................................................................................51第九部分定积分..................................................................................................................54第十部分定积分的应用.......................................................................................................60第十一部分反常积分...........................................................................................................68第十二部分数项级数...........................................................................................................72第十三部分函数列与函数项级数.......................................................................................90第十四部分幂级数.............................................................................................................101第十五部分傅里叶级数.....................................................................................................116第十六部分多元函数的极限与连续.................................................................................131第十七部分多元函数微分学.............................................................................................136第十八部分隐函数定理及其应用.....................................................................................148第十九部分含参量积分.....................................................................................................152第二十部分曲线积分.........................................................................................................163第二十一部分重积分.........................................................................................................166第二十二部分曲面积分.....................................................................................................1753/181《考研专业课高分资料》第二模块笔记第一部分实数集与函数§1实数数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念一．实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义.有理数：若规定：则有限十进小数都能表示成无限循环小数。例如：记为；0记为；记为实数大小的比较定义1给定两个非负实数其中为非负整数，。若由1）则称与相等，记为2）若存在非负整数，使得，而，则称大于（或小于），分别记为（或）。规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数，若按定义1有，则称实数的有理数近似表示定义2设为非负实数，称有理数为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值。对于负实数4/181《考研专业课高分资料》的位不足近似值规定为：；的位过剩近似值规定为：比如，则1.4,1.41,1.414,1.4142,称为的不足近似值；1.5,1.42,1.415,1.4143,称为的过剩近似值。命题设为两个实数，则实数的一些主要性质1四则运算封闭性:2三歧性(即有序性):3实数大小由传递性，即4Achimedes性:5稠密性:有理数和无理数的稠密性.6实数集的几何表示───数轴:例二.绝对值与不等式绝对值定义：从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：绝对值的一些主要性质5/181《考研专业课高分资料》性质4（三角不等式）的证明：三.几个重要不等式:⑴⑵对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有均值不等式:等号当且仅当时成立.⑶Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)对由二项展开式6/181《考研专业课高分资料》有:上式右端任何一项.§2数集。确界§2二数集.确界原理:一区间与邻域:邻域二有界数集.确界原理:1.有界数集:定义(上、下有界,有界)闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合也是有界数集.无界数集:对任意，存在，则称S为无界集。等都是无界数集,例证明集合是无界数集.证明：对任意,存在由无界集定义，E为无界集。确界先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。精确定义定义2设S是R中的一个数集，若数满足一下两条：（1）对一切有，即是数集S的上界；7/181《考研专业课高分资料》（2）对任何存在使得（即是S的最小上界）则称数为数集S的上确界。记作定义3设S是R中的一个数集，若数满足一下两条：（3）对一切有，即是数集S的下界；（4）对任何存在使得（即是S的最大下界）则称数为数集S的下确界。记作§3函数概念函数是整个高等数学中最基本的研究对象,可以说数学分析就是研究函数的.因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.一函数的定义1.函数的几点说明.函数的两要素:定义域和对应法则约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.函数的表示法:解析法,列表法,图像法.分段函数狄里克雷函数黎曼函数三函数的四则运算（见课本）四.函数的复合:8/181《考研专业课高分资料》六初等函数:基本初等函数:1常函数2幂函数幂函数§4具有某些特性的函数1.有界函数若函数在定义域上既有上界又有下界，则称为上的有界函数。这个定义显然等价于，对一切，恒有请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。例是无界函数。证明对任意的，存在，取，则2.单调函数奇函数与偶函数（1）定义域关于原点对称周期函数1)通常我们所说的周期总是指函数的最小周期2)有的周期函数不一定有最小周期，例如常函数是周期函数，狄里克雷函数，它们显然没有最小周期第二部分数列极限§1数列极限概念对于数列，设A是一个常数，若任给，都存在相应的自然数时，，则称A为数列的极限。下面我们通过图示，对数列定义作几点说明：（1）的任意性（2）的相应性9/181《考研专业课高分资料》三、用极限定义证明的例题2.数列极限的等价定义:对对任正整数§2收敛数列的性质1.极限唯一性：（证）2.收敛数列有界性——收敛的必要条件：（证）3.收敛数列保号性：定理2.4设或.则对(或(或例1设证明：若则（证）定理2.5设若，（注意“=”；并注意和的情况）.推论若则对4.定理（迫敛性）(证)5.绝对值收敛性:(注意反之不确).(证)推论设数列{}和{}收敛,则6.四则运算性质:7.子列收敛性:子列概念.定理(数列收敛充要条件){}收敛{}的任何子列收敛于同一极限.10/181《考研专业课高分资料》定理(数列收敛充要条件){}收敛子列{}和{}收敛于同一极限.定理(数列收敛充要条件){}收敛子列{}、{}和{都收敛.(简证)一、利用数列极限性质求极限:两个基本极限：1.利用四则运算性质求极限：数列的单调递增是显然的,有界很容易用归纳法证明,而且利用单调有界定理,设其极限为,则有,A=2定理2.10数列{收敛，（或数列{收敛，}第三部分函数极限§1函数极限概念一趋于时函数的极限设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量趋于时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数。例如，对于函数11/181《考研专业课高分资料》从图象上可见，当无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数，则当趋于时函数值无限地接近于。我们称这两个函数当时有极限。一般地，当趋于时函数极限的精确定义如下：定义1设定义在上的函数，为定数。若对任给的，存在正数，使得当时,有，则称函数当趋于时以为极限，记作或。说明:(1)、在定义1中正数的作用与数列极限定义中的相类似，表明充分大的程度；