2017年江苏专转本高等数学核心知识点无穷级数第二节 正项级数

第二节正项级数定义：，中各项均有如果级数01nnnuu这种级数称为正项级数.定理正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列}{ns有上界.这是因为0nu,所以}{nS单调不减,因此它有极限当且仅当它有上界.1且),2,1(nvunn,证明,1nkknuS设,nnvu.1收敛nnu均为正项级数，和设11nnnnvu则(1)若1nnv收敛,则1nnu收敛；(2)若1nnu发散，则1nnv发散.比较审敛法定理,1nkknvT,nnTS(1)),2,1(n因为1nnv收敛，所以}{nT有上界M，,MTSnn2且),2,1(nvunn,证明均为正项级数，和设11nnnnvu则(1)若1nnv收敛,则1nnu收敛；(2)若1nnu发散，则1nnv发散.比较判别法定理(2)是(1)的等价命题.从某项起,恒有nnkvu,)0(k.注：定理的条件可放宽为：3判断级数121sinnn的收敛性.因为nn2121sin0,而121nn收敛,解例1所以原级数收敛.4讨论p-级数11npn的收敛性(0p).oyx)1(1pxyp1234当1p时,而调和级数11nn发散,故原级数发散；当1p时,用积分判别法:当nxn1时,ppxn11,于是有nnppnxn1d1nnpxx1d解例2，nnp115故当1p时,11npn收敛.nnppnxn1d1nnpxx1d所以nkkkpnkpxxk212d11xxnpd1111111pnp,11p于是,11111pkSnkpn6总结:发散收敛10111ppnnp重要参考级数:几何级数,p-级数,调和级数.7因为nn111,而21nn发散,所以原级数发散.（但211nn如何？）因为22111nn,而221nn收敛,所以原级数收敛.（但2211nn如何？）解例3211nn例41211nn解8,设1nnu与1nnv都是正项级数如果,limlvunnn,当时;则(1)两级数有相同的敛散性l0(3)当时,若1nnv发散,则1nnu发散;l(2)当时，若收敛,则收敛;0l1nnv1nnu比较判别法的极限形式:9证明,lim)1(lvunnn由,02l取,N,时当Nn2||llvunn)(232Nnvluvlnnn即由比较判别法的推论,可知两级数有相同的敛散性.,22llvullnn10由极限定义,取1,存在自然数N,当Nn时,恒有1nnvu,即nnvu,当1nnv收敛时,1nnu也收敛。证明,0lim)2(nnnvu若由比较判别法可知,(注意：反之不对)；,lim)3(nnnvu若,0limnnnuv则由(2)即得结论.11收敛.而21nn发散,所以原级数发散.发散.收敛.例5211nn，1111limnnn例62211nn，1111lim22nnn例72211nnn，1111lim2nnnn例82211lnnn，1111lnlim22nnn12例9解设常数0p,试判别级数11lnnppnn的敛散性。111lnlimpppnnnn所以原级数当1p时收敛，当10p时发散。例101cos1nn21cos1limnnn22121limnnn,22收敛。13而131nn收敛,故原级数收敛.例11131nnn，13131limnnnnnnnn3131limnnnn33limnnn311limnnn3limxxx3lim3ln31limxx.0.114讨论21nnan的敛散性.)0(a(1)当1a时,而21nna收敛,故原级数收敛；(2)当10a时,故级数发散.例12解，111limnnnaan,111limnannn15试证：均收敛与设正项级数,11nnnnvu证明11均收敛，与nnnnvu,)1(212nununn,)(21nnnnvuvu收敛。1nnnu例13，收敛121nn由基本不等式，收敛且已知1nnu.1收敛nnnvu,)(1收敛nnnvu也收敛。收敛，11nnnnnnuvu16设1nnu是正项级数,若nnnuu1lim,则（1）1时级数收敛;比值判别法(达朗贝尔判别法)：（2）1时级数发散;（3）1时级数可能收敛也可能发散.,11发散级数nn,112收敛级数nn)1(证略.17!1)!1(11nnuunn11n,10n121n,例141!1nn12nnn例15nnuunnnn22111nn21收敛.解收敛.解18nnnuu1lim1)11(12limnnnnn1e1,解例1611)!1(nnnn12)!1()1()!2(limnnnnnnn收敛.19假设0,讨论11npnn的收敛性.（1）若1,则级数收敛；（2）若1,则级数发散；（3）若1,原级数为111npn,则1p时收敛,1p时发散.例17解nppnnnnnuu11)1(111)1(1ppnn，n20设1nnu是正项级数,如果nnnulim,则根值判别法(柯西判别法)：（1）1时级数收敛;（2）1时级数发散;（3）1时级数可能收敛也可能发散.证略.21例18解12limlimnnunnnn21112nnnn，1所以级数收敛.例1911213nnnn解nnnnnnnnu1213limlim91，1所以级数收敛.2212nnn例20收敛.解2limlimnnnnnnu,121nnnlimxxx1limxxxlnlimexx1lime.1e023