离散型随机变量的均值与方差正态分布

1．若随机变量X的分布列如下，则X的数学期望是()A.pB．qC．1D．pq答案：B三基能力强化X01Ppq2．正态总体N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则A．P1＞P2B．P1＜P2C．P1＝P2D．不确定答案：C三基能力强化3．一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的期望值是()A．0.83B．0.8C．2.4D．3答案：C三基能力强化4．(教材习题改编)某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8，现规定：若中靶就停止射击；若没有中靶，则继续射．如果只有3发子弹，则射击次数X的数学期望为________．答案：1.24三基能力强化5．(2009年高考广东卷)已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.三基能力强化X－1012Pabc112答案：51214课堂互动讲练例1设X～N(5,1)，求P(6＜X＜7)．课堂互动讲练【解】由已知μ＝5，σ＝1.∵P(4＜X＜6)＝0.6826，P(3＜X＜7)＝0.9544.∴P(3＜X＜4)＋P(6＜X＜7)＝0.9544－0.6826＝0.2718.如图，由正态曲线的对称性可得P(3＜X＜4)＝P(6＜X＜7)∴P(6＜X＜7)＝0.27182＝0.1359.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σXμ＋σ)，P(μ－2σXμ＋2σ)，P(μ－3σXμ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．②P(Xa)＝1－P(X≥a)，P(Xμ－a)＝P(X≥μ＋a)．规律方法总结课堂互动讲练例2已知X的概率分布为求：(1)EX，DX；(2)设Y＝2X＋3，求EY，DY.X－101P121316课堂互动讲练【解】(1)EX＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；DX＝(x1－EX)2p1＋(x2－EX)2p2＋(x3－EX)2p3＝12(－1＋13)2＋13(0＋13)2＋16(1＋13)2＝59.课堂互动讲练(2)EY＝E(2X＋3)＝2EX＋3＝2×(－13)＋3＝73；DY＝D(2X＋3)＝4DX＝4×59＝209.课堂互动讲练例3(解题示范)(2008年高考广东卷)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件，三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为ξ.课堂互动讲练(1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望);(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【解】(1)ξ的所有可能取值有6,2,1,-2；课堂互动讲练P(ξ＝6)＝126200＝0.63，1分P(ξ＝2)＝50200＝0.25，2分P(ξ＝1)＝20200＝0.1，3分P(ξ＝－2)＝4200＝0.02.4分故ξ的分布列为课堂互动讲练ξ621－2P0.630.250.10.02(2)Eξ＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.课堂互动讲练(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为Ex＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依题意，Ex≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03.所以三等品率最多为3%.