第二章 模糊控制的理论基础

模糊控制篇第二章模糊控制的理论基础2.1.1模糊集的概念2.1.2模糊集合的运算2.1.3隶属度函数的建立2.1.4模糊关系与合成运算2.1模糊逻辑基础2.2模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成2.2.1二值逻辑2.2.2模糊逻辑基本运算2.2.3模糊语言逻辑2.2.4模糊逻辑推理所谓“模糊”，其意思是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不分明。比如，我们说“天气热”。但气温到底多少度才算“热”，显然没有明确的界限。这种无法用“是”或“否”定义的概念，我们称之为模糊概念。什么是“模糊”？模糊概念举例天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低例如，对于一个炉温控制系统，人的控制规则是，若温度高于某一设定值，操作者就减小给煤量，使之降温。反之，若温度低于设定值，则加大给煤量，使之升温。一个熟练的操作人员,凭借自己的经验和观察，经过大脑的思维判断，给出控制量，可以手动操作达到较好的控制效果。在生产实验中，存在着大量的模糊现象，对于那些无法获得数学模型或模型粗糙复杂的、非线性的、时变的或是偶合十分严重的系统，无论用经典控制，还是现代控制理论的各种算法、都很难实现其控制。以上过程包含了大量的模糊概念．如“高于”、“低于”等等。而且操作者在观察温度的偏差时，偏差越大，给定的变化也越大,设法使之变温越快。这里的“越高”、“越快”也是模糊概念。因此，操作者的观察与思维判断过程，实际上是一个模糊化及模糊计算的过程。我们把人的操作经验归纳成一系列的规则，存放在计算机中，利用模糊集理论将它定量化，使控制器模仿人的操作策略，这就是模糊控制器，用模糊控制器组成的系统就是模糊控制系统。上例中人们根据炉温的实际温度与设定值的高低比较来进行控制，那么高多少、低多少，降温或升温速度的快慢等都是模糊的，没有一个明确的分界线。现在我们设定温度为20度，那么，我们可以认为当炉温是21度时，它属于温度高的程度为0.2；而当炉温为23度时，它属于温度高的程度为0.7；而当炉温为30度时，它属于温度高的程度为1。因此，可以用一个在0-1之间取值的函数来表示一件事属于我们所考虑的事件的程度，这个函数就叫隶属度函数。隶属度函数是什么？以往各种传统控制方法均是建立在被控对象的精确数学模型之上的，随着系统复杂程度的提高，将难以建立系统的精确数学模型和满足实时控制的要求。人们期望探索出一种简便灵活的描述手段和处理方法，并为此进行了种种尝试。结果发现一个复杂的传统控制理论几乎难以实现的控制系统，却可由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意的控制结果。骑自行车就是一个例子：一、模糊控制的发展任何一个经过训练的人都可以骑车自如地穿过人群，却难以对这种极为复杂的动力学问题使用精确的数学模型进行控制。这个例子给我们带来启示，吸收人脑的这种特点，模拟人的思维方法，把自然语言植入计算机内核，使计算机具有活性和智能。这长期以来一直是中外科学家的夙愿。模糊逻辑控制(FuzzyLogicControl)就是使计算机具有活性和智能的一种新颖的智能控制方法。模糊控制是以模糊集合论作为它的数学基础的，它的诞生是以L．A．Zadeh1965年提出模糊集理论为标记的。模糊控制经历了30多年的研究和发展已经逐步完善，尤其在其应用领域更是成果辉煌。自从1974年E.H.Mamdani首先利用模糊数学理论进行蒸汽机和锅炉控制方面的研究获得成功以后，模糊控制的研究和应用一直十分活跃。模糊控制系统应用于诸如在测量数据不确切、要处理的数据量过大以致无法判断它们的兼容性、一些复杂可变的被控对象等场合是非常适合的。与传统控制器依赖于系统行为参数的控制器设计方法不同的是模糊控制器的设计是依赖于操作者的经验。二、模糊控制的特点模糊控制是建立在人工经验基础上的。对于一个熟练的操作人员。他并非需要了解被控对象精确的数学模型，而是凭借其丰富的实践经验，采取适当的对策来巧妙地控制一个复杂过程。若能把这些熟练操作员的实践经验加以总结和描述，并用语言表达出来，它就是一种定性的、不精确的控制规则。如果用模糊数学将其定量化，就转化为模糊控制算法，从而形成了模糊控制理论。模糊控制在最近的短短十多年来发展如此迅速，应主要归结于模糊控制器的一些明显的特点：(1)无需知道被控对象的数学模型模糊控制是以人对被控系统的控制经验为依据而设计的控制器，故无需知道被控系统的数学模型。(2)是一种反映人类智慧思维的智能控制模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模糊推理是人类通常智能活动的体现(3)易被人们所接受模糊控制的核心是控制规则，这些规则是以人类语言表示的，如“衣服较脏，则投入洗涤剂较多，洗涤时间较长”，很明显这些规则易被一般人所接受和理解。(4)构造容易用单片机等来构造模糊控制系统，其结构与一般的数字控制系统无异，模糊控制算法用软件实现。(5)鲁棒性好模糊控制系统无论被控对象是线性的还是非线性的，都能执行有效的控制，具有良好的鲁棒性和适应性。模糊控制的原理就是模仿人的思维，运用语言规则进行推理。模糊逻辑控制器的工作原理主要是基于以下三个概念：测量信息的模糊化、推理机制和输出模糊集的精确化。•测量信息的模糊化是将实测物理量转化为在该语言变量相应论域内不同语言值的模糊子集。•推理机制使用数据库和规则库，它的作用是根据当前的系统状态信息来决定模糊控制的输出子集。•模糊集的精确化计算是将推理机制得到的模糊控制量转化为一个清晰、确定的输出控制量的过程。常规反馈控制系统和一个典型的模糊控制系统结构如下图所示：模糊控制系统结构示意图常规反馈控制系统结构示意图2.1模糊逻辑基础模糊控制以模糊集合论作为它的数学基础。什么是模糊集合？它是怎样描述和定义的？又有哪些运算？2.1.1模糊集的概念先来看看经典集合论:将事物是依据一定的标准进行分类，这种分类的数学工具就是经典集合论。所谓“集合”，就是被经典集合论分类为具有某种属性，确定的、彼此可以区别的事物的全体。集合是在19世纪末由德国的数学家乔治·康托创立的，集合的出现统一了许多似乎没有联系的概念。对于普通集合而言，任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合。非此即彼，界限分明，没有模棱两可的情况。比如“男人”、“女人”、“茶”、“电脑”等等。然而，尽管经典集合适用于很多应用情况，并且已经证明是数学和计算机科学中的重要工具，但是它却没有反映具有抽象和不精确特征的人类思想和概念的本质。客观世界中存在着大量的带有模糊性的事件，它们的界限不是十分明确，如温度高、瘦子、青年等概念。在经典数学上，我们可以认为高个子人的集合是身高在6英尺(1.8288m)以上的人的全体。然而，这不能自然而充分地表达出我们通常所认为的“高个子人”的含义。原因是经典集合的两分特性将把一位身高是6.001英尺(1.8291m)的人认为是高个子，而5.999英尺(1.8285m)却不是高个子。直觉上，这一划分是不合理的。缺陷就来源于从属于到不属于一个集合的突然转变上。若将“高个子人”、“优秀人才”这些概念作为集合，那么其元素的归属就不能用简单的｛0,1｝二值逻辑来描述，元素从属于该集合到不属于该集合是渐变的。正是这样，Zadeh提出了模糊集合，他将经典集合的特征函数的取值由二值逻辑｛0,1｝扩大到闭区间[0，1]，构成新的隶属函数。通过隶属函数的隶属度值，来反映事物的模糊性。可见，模糊集合实质上是对模糊现象的一种描述。设U为一可能是离散或连续的集合，用{u}表示，U被称为论域(UniverseofDiscourse)，“u”表示论域U的元素，模糊集合是用隶属函数来表示的。所谓论域U，指的是我们所讨论问题的任意一个子集、任意一个元素都属于这一集合U，U又称为全集。μA(u)=1,表示u完全属于AμA(u)=0,表示u完全不属于A0μA(u)1,表示u部分属于A显然,μA(u)越接近于1,表示u从属于A的程度越大，反之,μA(u)越接近于0,表示u从属于A的程度越小。论域U中的模糊集合A用论域中的任一元素u及其在区间[0,1]上取值的隶属函数μA(u)来表示：μA(u)称为u对A的隶属度，它表示论域U中的元素u隶属于其模糊子集A的程度，它在[0,1]闭区间内可以连续取值定义2－1模糊集合若U为离散域，即论域U是有限集合时，模糊集合有三种表示方法：zadeh表示法、序偶表示法和向量表示法。1()nAiiiuAu（1）zadeh(扎德）表示法模糊集合A就可以用元素u和它的隶属函数μA(u)来表示。,,,1122{(()),(()),....(())}AAnAnAuuuuuu123{(),(),(),..........()}AAAAnAuuuu（2）序偶表示法（3）向量表示法考虑论域U={0,1,2,…..,10}和模糊集合A“接近于0的整数”，假设0到10属于A的隶属度分别为1、0.9、0.75、0.5、0.2、0.1、0、0、0、0，则A的三种表示方法为：（1）zadeh表示法1.00.90.750.50.20.100(....)012345610例：模糊集合A的表示方式A=A={(0,1),(1,0.9),(2,0.75),(3,0.5),(4,0.2),(5,0.1)}A={1,0.9,0.75,0.5,0.2,0.2,0,0,0,0,0}（2）序偶表示法（3）向量表示法2.1.2模糊集合的运算定义2－2模糊幂集、空集,全集论域U中模糊子集的全体,称为U中的模糊幂集,记为A(U)，即A(U)={A|μA:U→[0,1]}对于任一uU，若μA（u）=0，则称A为空集；若μA（u）=1，则A=U，A称为全集。定义2－3模糊子集设A,B∈A(U)，即它们是U的模糊集合。对任一uU都有μB(u)≤μA(u)，则称A包含B或者说B是A的一个子集，记为BA。如果μB(u)=μA(u)，则称B=A。定义2-4模糊并集运算()()()max{(),()}ABABABuuuuu模糊集合的运算与经典集合的运算相类似，只是利用集合中的特征函数或隶属度函数来定义类似的操作。设A、B为U中两个模糊子集，隶属函数分别为μB(u)和μA(u)，则模糊集合的并、交、补运算可以如下定义：()UABABuu（）隶属数对点义为运并的函所有被逐定取大算，即式中，符号“”为取极大值运算。定义2-5模糊交集运算()()()min{(),()}ABABABuuuuu()UABABuu（）隶属数对点义为小运并的函所有被逐定取算，即式中，符号“”为取极小值运算。定义2-6模糊补集运算()1()AAuuUAAu模糊集合的补隶属数对点义为函所有被逐定式中，符号“”为取极小值运算。aAB（）模糊集合和bAA（）的补集cAB（）与的并集cAB（）与的交集例：设论域U={u1,u2,u3,u4}中的两个模糊子集A和B为123410.80.40.5{}Auuuu1240.90.40.7{}Buuu求、、ABABA解AB=123410.90.80.40.400.50.7uuuu123410.80.40.7uuuu=AB123410.90.80.40.400.50.7uuuu1240.90.40.5uuu==A12341110.810.410.5uuuu==1240.20.60.5uuu定理2-1设U为论域，A,B,C为U中的任意模糊子集，则有下式成立：1）幂等律A∪A=AA∩A=A2）结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩C3）交换律A∪B=B∪AA∩B=B∩A4）分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)5）同一律A∩U=A,A∪=A6）零一律A∩=,A∪U=U7）吸收律A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A8）摩根定律9）双重否定律10）互补律不成立(AB)=AB(AB)=ABAA