第6章 混沌与分岔

混沌与分岔第六章BITPEMCContent1.混沌与分岔的起源与发展2.混沌的概念3.混沌的特点4.混沌现象举例5.分岔的概念6.分岔现象举例7.混沌的研究方法8.分岔的研究方法9.混沌在现代科技领域的应用BITPEMC混沌与分岔的起源与发展公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性。直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。BITPEMC混沌与分岔的起源与发展分岔现象最早来源于1729年Musschenbrock对压杆失稳实验的观察，这种分岔现象在固体力学中称屈曲。1834年雅可比首次提出分岔这个术语。1885年，庞卡莱提出旋转液体星平衡图形的演化过程的分岔理论。固体力学的屈曲和流体力学的转捩一直是分岔研究的重要动力。20世纪30年代，范德波、安德罗诺夫等在非线性振动研究中发现大量的分岔现象。以后在很长时间内，分岔的研究主要集中在应用领域，直到20世纪60年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线性分析等方面逐渐形成了现代数学理论。BITPEMC混沌与分岔的起源与发展混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的研究得到迅速发展，如Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌；Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌；Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。BITPEMC混沌的概念混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一词由李天岩（Tian-yanLi）和约克（Yorke）于1975年首先提出。混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏感初始条件的非周期行为”。BITPEMC混沌的概念n周期点的定义：如果对于某x0，有f(n)(x0)=x0，但对于小于n的自然数k，有f(k)(x0)≠x0，则称x0为f的一个n周期点。n周期轨道的定义：当x0为f的一个n周期点时，称{x0,f(1)(x0),f(2)(x0),…,f(n-1)(x0)}为f的n周期轨道。Li-Yorke定理：设连续自映射，I是R的一个闭区间，如果：①存在一切周期的周期点；②存在不可数子集S，S不含周期点，使得则称f在S上是混沌的。RIIf:yxSyxyfxfnnn,,,0)()(suplim)()(yxSyxyfxfnnn,,,0)()(inflim)()(为周期点,,0)()(suplim)()(pSxpfxfnnnBITPEMC混沌的概念Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系统应该具有三种性质：1.存在所有周期的周期轨道；2.存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现；3.任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。BITPEMC混沌的特点1.对初值的敏感性混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千里”。1963年，荷兰科学家洛伦兹(HendrikAntoonLorenz)在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动流体块中的对流为模型，提出了著名的Lorenz方程。Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。BITPEMC混沌的特点2.内在随机性确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方程产生的随机性称之为内在随机性。混沌是确定性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重要特征之一。BITPEMC混沌的特点3.长期不可预测性由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长期演化行为是不可预测的。BITPEMC混沌的特点4.分形性分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。所谓分形是指n维空间一个点集的一种几何性质，它们具有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点集叫分形体。分维就是用非整数维-分数维来定量地描述分形的基本特性。BITPEMC混沌的特点5.普适性普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。BITPEMC混沌的特点6.遍历性遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够到达混沌区域内任何一点。BITPEMC混沌的特点7.奇怪吸引子相对于简单吸引子（不动点、极限环、环面）又称混沌吸引子。由无限层的条带经过伸长和折叠的几何图像。它表示系统的状态随时间呈无规则的非周期变化;具有混沌的一切特征，对初始条件的敏感性，具有非整数的维数，即使原来的微分方程连续的依赖于参数，奇怪吸引子的结构也不是连续随参数变化，而往往是在参数变化的过程中其整体结构会发生突变，奇怪吸引子具有无穷嵌套的自相似结构。BITPEMC混沌的特点几种典型的混沌吸引子Chen’s吸引子Lorenz吸引子Rossler吸引子BITPEMC混沌现象举例机床切削金属时或打印机机头因冲击而引起的混沌振动正常的脑电波则近乎随机讯号，其脑电图曲线代表的就是典型的混沌现象单摆是我们熟知的确定性运动的典型，但当角度大到一定程度并有驱动力和阻力时也居然能够进入混沌状态湍流、三体问题、蝴蝶效应、昆虫繁衍BITPEMC混沌现象举例--蝴蝶效应1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你这一天将电闪雷鸣！后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次输入中间数据时将原来的0.506127省略为0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是非线性的，非线性方程不同于线性方程，线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这就是蝴蝶效应。BITPEMC混沌现象举例--昆虫繁衍假定有某种昆虫，在不存在世代交叠的情况下，即每年夏天成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化为虫。很显然，若产卵数大于1，则虫口就会迅速增加，“虫满为患”。但在虫口数目增大的同时又由于争夺有限的食物和生存空间而不断发生咬斗事件，也可能因接触感染而导致疾病蔓延，这些又会使虫口减少。综合考虑正增长和负增长，即鼓励和抑制这两种因素的作用，经过一定的数学抽象和变换后，在1976年生物学家罗伯特.梅最终得到虫口方程如下：Xn+1=λXn(1—Xn)式中各量的取值范围为n：1，2，3，···∞；Xn：[0，1]；λ：[0，4]BITPEMC混沌现象举例--昆虫繁衍假定虫口环境所能支撑和供应的最大虫口限额为N0，且N01。第n代虫口数为Nn，则Xn=Nn/N0，是为第n代的相对虫口数。显然，1就是最大虫口数目，故Xn的值不能超过1。λ是控制参量，虫口模型要求λ取值[0，4]，这是因为在λ4时会出现发散现象，方程就将失去意义。如对Xn+1=5Xn(1—Xn)，当代入Xn=0.5后会得到Xn+1=1.25，而最大相对虫口数只能为1，Xn+1=1.25显然没有意义。BITPEMC混沌现象举例--昆虫繁衍下面取λ为不同值对虫口方程进行迭代求解：1.取λ：0—1迭代容易验证，λ在0—1之间时，无认初始值取多少，对方程Xn+1=λXn(1—Xn)迭代归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳定态。2.取λ：1—3迭代迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非零的1周期解，同样对应系统的稳定状态。对方程Xn+1=2Xn(1—Xn)作迭代，取X1=0.1则有X2=0.18，X3=0.2952，X4=0.416111392，X5=0.485924299，X6=0.4999604721，X7=0.499999687，X8=0.499999999······可见很快收敛于X*=0.5。又对方程Xn+1=2.5Xn(1—Xn)作迭代，取X1=0.1也只须十几次迭代就收敛于X*=0.6了。不过与上一迭代趋近方式有所不同，几次迭代后结果就在X*值上下产生小幅振荡，并最终收敛于X*=0.6。BITPEMC混沌现象举例--昆虫繁衍3.取λ：3—3.569迭代迭代结果开始出现跳跃情况，倍周期分岔开始。其中在3—3.449之间为2周期，在3.449—3.544间为4周期······随着λ的增加，分岔越来越密，混沌程度越来越高，直至λ=3.569时分岔周期变为∞，最后“归宿”可取无穷多的不同值，表现出极大的随机性。而周期无穷大就等于没有周期，此时系统开始进入完全的混沌状态。混沌区对应λ取值3.569—4。BITPEMC分岔的概念分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。分岔现象是非线性问题中所特有现象，失稳是其发生的前提。分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突变。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌。由此可见分岔在许多非线性现象中起着桥梁作用。分岔问题可以分成静态分岔和动态分岔。静态分岔指系统的平衡点的稳定性在分岔值附近发生变化，如鞍结分岔、跨临界分岔、叉形分岔等；动态分岔是相轨迹的拓扑结构也发生变化，如Hopf分岔、环面分岔、同宿或异宿分岔等。叉形分岔、Hopf分岔和鞍结分岔为三种分岔原型。BITPEMC分岔的概念1.叉形分岔其典型方程为：方程的平衡点有三个：x=0和平衡态的稳定性由雅可比矩阵的特征值决定：对于平衡点x=0，雅可比矩阵的特征值为μ。当μ0时，平衡点x=0是稳定的；当μ0时，它是不稳定的。对于平衡点，雅可比矩阵的特征值为-2μ。此时μ取正值，这两个平衡点都是稳定的。这就是叉形分岔，又称为倍周期分岔。3xxxxxBITPEMC分岔的概念2.Hopf分岔在动态分岔中，比较重要的是由于平衡点稳定性突然变化而出现极限环的霍普分岔。Hopf分岔是指从平衡点的失稳分岔出极限环，即产生周期性振荡的现象。其典型的方程为引入极坐标(r,θ)，其中)]([)]([22.22.yxyxyyxxyx22yxrsincosryrxBITPEMC分岔的概念代入典型方程并化简得方程组的第二式，说明了轨线以一常角速度旋转，而第一式，则说明了极坐标系在μ0时还存在另一平衡点由此看到，