煤炭协会网络课程《误差理论与测量平差》复习题

煤炭协会网络课程《误差理论与测量平差》复习题一、写出五种衡量精度指标的名称，并指出他们之间的关系是什么？答：五种衡量精度指标的名称：方差2或中误差，平均误差，或然误差，相对误差和极限误差；关系：方差nn][lim2，平均误差54，或然误差32，相对误差Km1观测值大小，极限误差=2或3。二、已知独立观测值1L、2L的中误差分别为1、2，求下列函数的中误差：（1）2132LLx；（2）212132LLLx；（3）)cos(sin211LLLx。解(1)2132LLx=03221KLLL，利用协方差转播公式：TKKLxKKDDLLxx则，,022212221222122212949432323232xxxx则，因此，D（2）212132LLLx，此式是非线性形式，需要线性化，对上式求全微分得：KdLdLdLLLLdLLdLLLdx21010212011021)3()3()3()3(利用协方差转播公式：2221212212221212210102122210102129)3(9)3()3()3()3()3(LLLLLLLLLLLLxxxx则，因此，D（3）)cos(sin211LLLx，此式是非线性形式，需要线性化，对上式求全微分得：)(cos)sin(sin)(cos)sin(sin)cos(cos2021221110212211211dLLLLLLdLLLLLLLLLdx222212211212212211211)(cos)sin(sin)(cos)sin(sin)cos(cosLLLLLLLLLLLLLx三、若要在两坚强点间布设一条附合水准路线，已知每公里观测中误差等于mm0.5，欲使平差后线路中点高程中误差不大于mm0.10，问该路线长度最多可达几公里？解设路线总长S公里，按照测量学上的附合路线计算步骤，则路线闭合差BAhHhhHf21由于是路线中点，故BAhHhhHfvv21212121则线路中点高程数点的高程化成观测值函此步的目的是将线路中中点,2121212121212121ˆ212121111BABABAAAHHhhHHhhHhhHhHvhHH设每公里高差观测中误差为0，则021)2/(shh按误差传播定律)(16,10425)52/(41)52/(41)2/(41)2/(414141212100212122220202222ˆ21121kmSSsssshhhhH中点四、设1P点及2P点的坐标为：mYmXmYmX00.150000.1800,00.100000.10002211向量TYXYX2211,,,的协方差阵为：8230261231420223(cm)2试求坐标差函数12XXX与12YYY的方差协方差阵；解：2211120101YXYXXXX2211121010YXYXYYY22111121210100101YXYXYYXXYX则坐标差函数12XXX与12YYY的方差协方差阵：2)(6115100110015112243110011001823026123142022310100101cmDDDDYYXYYXXX五、有三角网（如图1），其中B、C为已知点，A、D、E为待定点，观测角iL（i=1，2，…，10）。试写条件方程式并对非线性的条件方程进行线性化；图1解：本题，观测值个数为10个，必要观测个数是6个（3个未知点），可以列4个条件，分别为2个三角图形条件、1个圆周角条件、1个极条件。2个三角图形条件：0180ˆˆˆ0180ˆˆˆ08540762LLLLLL1个圆周角条件：0360)ˆˆ180(ˆˆ03187LLLL1个极条件：01ˆsinˆsinˆsinˆsinˆsinˆsin532641LLLLLL这个极条件为：01ˆsinˆsinˆsinˆsinˆsinˆsin532641LLLLLL.,,,,ˆsinˆsin,,ˆsinˆsin,,ˆsinˆsin,,1542631需要线性化因为该条件是非线性的可以得到极条件上式将三个图形的正弦代入中在中在中而在从图上可以看出LLBDCDBCDLLCDADACDLLADBDABDBDCDCDADADBD利用泰勒级数展开并取至一次项，经过推导可以得到以下规律，0)sinsinsinsinsinsin1(cotcotcotcotcotcot641532665544332211LLLLLLvLvLvLvLvLvL（总结其规律性）六、在图2中,CBA、、是已知点,21PP、为待定点,网中观测了12个角度和6条边长。已知测角中误差为5.1，边长测量中误差为0.2cm，试用符号表示12号观测角和18号观测边的误差方程（线性化）和权。图2jkh解：根据一般公式：))((ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(00200200200200200200200200jhjkLySXxSYySXxSYySXxSYySXxSYvhjkjkhjhjhjjhjhjjhjhkjkjkkjkjkjjkjkjjkjki该式子是是对应上面的图形，针对本题的12号观测角，则：))((ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(00121200120020020022002200200200121111111122222222CPCPCPCPCPCPCCPCPCCPCPCPCPCPCPCCPCPCCPCPiLySXxSYySXxSYySXxSYySXxSYv边长：)(ˆˆˆˆ000000000jkikjkjkkjkjkjjkjkjjkjkiSLySXxSXySYxSXv该式子是是对应上面的图形，针对本题的18观测边，则：)(ˆˆˆˆ0180000000018212121212121212121PPkPPPPkPPPPjPPPPjPPPPSLySXxSXySYxSXv七、已知观测值的协因数阵为LLQ，求条件平差LLQˆˆ。解：根据条件平差的基础方程，建立平差值与观测值之间的关系式子因为，在条件平差中：01111011111110000))(()(,,0)(:,)(0,0)(,0)(,0ˆANAPLANAPAALNAPWNAPKAPVWNKWKNWKAAPAALWWAVAALAVAVLAALATTTTTT即其法方程根据条件平差原理其中jk0111101111)(ˆANAPLANAPEANAPLANAPLVLLTTTTLLTLLLLTLLLLTLLTTLLLLTLLTTLLLLTLLTLLTTLLLLTLLTLLTTLLTLLTTLLTLLAQNAQQAPNAQQAPNAPAQNAPAPNAQQAPNNNAPAQNAPAPNAQQAPNAAQNAPAQNAPAPNAQQAPNAEAQNAPQANAPEAQNAPQANAPEQANAPEQ11111111111111111111111111111111111111ˆˆ)()()()()()(八、已知观测值的协因数阵为LLQ，求间接平差LLQˆˆ。解：根据间接平差的基础方程，建立平差值与未知数之间的关系式子在间接平差中：lxBVdBXLxBVdxXBVLdXBLˆ)),((ˆ)ˆ(,ˆˆ00法方程为：)()()())(()(ˆ)(ˆ,0ˆ011011dBXPBPBBLPBPBBdBXLPBPBBxPlBPBBxPlBxPBBTTTTTTTTTT则1111111111ˆˆ)()()()()()()())(()(PBBPBBPBBPBBPBBPBPPBPBBPBBPBQPBPBBPBPBBQPBPBBQTTTTTTTTLLTTTTTLLTTxx由于dXBLˆˆ，则TTTXXLLBPBBBBBQQ1ˆˆˆˆ)(九、写出所学过的四种经典平差方法的名称和各自的特点以及适用的条件。解：条件平差法是一种不选任何参数的平差方法，通过列立观测值的平差值之间满足r个条件方程来建立函数模型，方程的个数为c=r个，法方程的个数也为r个，通过平差可以直接求得观测值的平差值，是一种基本的平差方法。但该方法相对于间接平差而言，精度评定较为复杂，对于已知点较多的大型平面网，条件式较多而列立复杂、规律不明显。附有参数的条件平差需要选择u个参数，且ut,参数之间要求必须独立，通过列立观测值之间或观测值与参数之间满足的条件方程来建立函数模型，方程的个数为c=r+u个，法方程的个数为r+u个。常适合于下述情况：需要求个别非直接观测量的平差值和精度时，可以将这些量设为参数；当条件方程式通过直接观测量难以列立时，可以增选非观测量作为参数，以解决列立条件式的困难。间接平差需要选择u=t个参数，而且要求这t个参数必须独立，模型建立的方法是将每一个观测值表示为所选参数的函数，方程的个数为c=r+u=n个，法方程的个数为t个，通过解算法方程可以直接求得参数的平差值。最大的优点是方程的列立规律性强，便于用计算机编程解算；另外精度评定非常便利；再者，所选参数往往就是平差后所需要的成果。如水准网中选待定点高程作参数，平面网中选待定点的坐标作参数。由于r+t=n，说明条件平差与间接平差的法方程个数之和等于观测值个数，因此，当某一平差问题的r与t相差较大时，若rt,通常采用条件平差；若rt，则采用间接平差，这样就可保证法方程的阶数较少。附有条件的间接平差与间接平差类似，不同的是所选参数的个数ut，但要求必须包含t个独立参数，不独立参数的个数为s=u-t个，因此，模型建立时，除按间接平差法对每一个观测值列立一个方程外，还要列出参数之间所满足的s个限制条件方程，方程的总数为c=r+u=n+s个，法方程的个数为u+s个。十、已知某平面控制网经平差后P点的坐标协因数阵为：22ˆˆ)/()(192.1314.0314.0236.1dmQXX，单位权方差1ˆ0，（1）试求极值方向E和F，极大值E和极小值F；（2）求与X轴夹角成0.49方向的位差，以及与极大值方向夹角成0.45方向的位差。解：（1）极值方向的计算与确定272727.14044.0628.0192.12