§1.6 事件的独立性 (2)

例1袋中有a只黑球，b只白球．每次从中取出一球，取后不放回．令：A={第一次取出白球}，B={第二次取出白球}，则babAP111babaabBAPbababbABP所以，BAPABPBP得：111babaabbababbbab§1.6事件的独立性11bababbABP而，因此BPAPABP)(22bab)(BPAP例2袋中有a只黑球，b只白球．每次从中取出一球，取后放回．令：A={第一次取出白球}，B={第二次取出白球}，则babAPbabBPABP而，)()(22BPAPbab说明例2表明，事件A是否发生对事件B是否发生在概率上是没有影响的，即事件A与B呈现出某种独立性．事实上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球的概率自然也未改变．由此，我们引出事件独立性的概念例1表明，事件A是否发生对事件B是否发生在概率上是有影响的．或者说，第一次的摸球结果对第二次摸球肯定是有影响的．1.事件独立性定义1.7设A、B是两个随机事件，如果BPAPABP则称A与B是相互独立的随机事件．2.事件独立性的性质：1）如果事件A与B相互独立，而且0APBPABP则证明由于事件A与B相互独立，故BPAPABPAPABPABP因此，BPAPBPAP2）必然事件Ω与任意随机事件A相互独立；不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立．证明由APAPAP1APP可知必然事件Ω与任意事件A相互独立；可知不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立.由)A(P)(P0P(A)0)(P)A(P2.事件独立性的性质：3)若随机事件A与B相互独立，则BABABA与、与、与也相互独立.证明为方便起见，只证BA与相互独立即可．由于ABBPBAP，由概率的可减性，得注意到BABABPBPBAP的独立性与事件BABPAPBPBPAP1BPAP相互独立．与所以，事件BA请问：如图的两个事件是独立的吗？即:若A、B互不相容，且P(A)0,P(B)0,则A与B不独立.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不独立我们来计算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即AB这表明，事件A与B不相互独立．此例说明：互不相容与相互独立不能同时成立。BPAPABP所以，例3设事件A与B满足：0BPAP若事件A与B相互独立，则AB≠Φ；若AB=Φ，则事件A与B不相互独立．证明：相互独立，故与由于事件BA0BPAPABPAB所以，由于AB=Φ，所以0PABP但是，由题设0BPAP问：能否在样本空间Ω中找两个事件,它们既相互独立又互斥?这两个事件就是Ω和P(Ω)=P()P(Ω)=0与Ω独立且互斥设A、B为互不相容事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：前面我们看到独立与互斥的区别和联系.1.P(B|A)02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习.例4设有电路如图，其中1,2,3,4为继电器接点。设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一个继电器接点闭合的概率均为p。求L至R为通路的概率。LR2134解：设事件Ai(i=1,2,3,4)为“第i个继电器接点闭合”,L至R为通路这一事件可表示为：AAAAA1234.由和事件的概率公式及A1,A2,A3,A4的相互独立性，得到)()()()()(432143214321AAAAPAAPAAPAAAAPAP)()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAPppppp224242.3.三个事件的独立性设A、B、C是三个随机事件，如果CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP则称A、B、C是相互独立的随机事件．注意：在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不可的．即：前三个等式的成立不能推出第四个等式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立．例4袋中装有4个外形相同的球，其中三个球分别涂有红、白、黑色，另一个球涂有红、白、黑三种颜色．现从袋中任意取出一球，令：A={取出的球涂有红色}B={取出的球涂有白色}C={取出的球涂有黑色}则：21CPBPAP41ACPBCPABP41ABCP由此可见BPAPABPCPBPBCPCPAPACPCPBPAPABCP8141但是这表明，A、B、C这三个事件是两两独立的，但不是相互独立的．4.n个事件的相互独立性等式成立：个随机事件，如果下列为，，，设nAAAn21nnmiiiiiikjikjijijiAPAPAPAAAPniiiAPAPAPAAAPnkjiAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPnm2121211)(112121个随机事件相互独立．这，，，则称nnAAA21说明在上面的公式中，个等式一行共有，最后个等式，个等式，第二行有第一行有nnnnCCC32因此共有10322nnnnnnnCCCCCnn12个等式返回主目录注意：在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是根据实际意义来加以判断的。具体的说，题目一般把独立性作为条件告诉我们，要求直接应用定义中的公式进行计算。若是相互独立的事件，则nAAA,,,21)()()(1)(1)(212121nnnAPAPAPAAAPAAAP相互独立事件至少发生其一的概率的计算npniiAP111则有如果，特别的p)()()(n21APAPAP注意npniiAP111至少出现一次的概率为次试验中则前出现次试验中表示第事件是某一随机次某一试验假设独立重复地做AnAiAAEni,,,1.:小概率事件迟早要发生此结论说明时，当nnpniiAP1111例5下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.它们下方的数是它们各自正常工作的概率.求电路正常工作的概率.ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.0P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H)解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有其中973.0)()()(EPDPCPP(C+D+E)=1-9375.0)()(GPFPP(F+G)=1-P(W)0.782代入得ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.0