北京工业大学研究生概率论与数理统计11章

第二节多步转移概率的确定一、C-K方程三、应用举例四、小结二、多步转移概率的确定一、C-K方程},)({1TnnX设是一齐次马氏链,则对任意的有,,1Tvu.,2,1,),()()(1kkjikijjivpuPvuP切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(简称C-K方程)说明C-K方程基于下列事实:.)(,,”转移到状态经时段出发所处的状态“从时刻jjiavusXavuas柯尔莫哥洛夫资料这一事件可分解成:转移到中间状态先经时段出发“从uasXi,)(”等事转移到状态经时段在从jkkavaka),2,1(件的和事件.tosusvusiakaja如下图所示:证明,1TsIak和先固定由条件概率定义和乘法定理得})(|)(,)({ikjasXausXavusXP})(,)(|)({})(|)({ikjikasXausXavusXPasXausXP).()(vPuPkjik(马氏性和齐次性),,2,1,)(构成一划分”因事件组“kausXk（书P363公式2.2）所以})(|)({)(ijijasXavusXPvuP1)(,)({kjusXavusXP}.)(|ikasXa考虑到马氏性和齐次性,即得C-K方程.C-K方程也可写成矩阵形式:).()()(vPuPvuP（书P364公式2.1）二、多步转移概率的确定利用C-K方程我们容易确定n步转移概率.得递推关系:,1,1,)()()(nvuvPuPvuP令中在),1()1()1()(nPPnPPnP.)(npnP从而可得马氏链的n步转移概率是一步转移概率的n次方,链的有限维分布可由初始分布和一步转移概率完全确定.结论（书P364公式2.3）三、应用举例,2,1,0}0,{的齐次马氏链是具有三个状态nXn,4/14/304/12/14/104/14/3210210P.2,1,0,3/1}{)0(0iiXPpi初始分布一步转移概率为}.1{)(};1,0{)(:220XPiiXXPi试求例1解先求出二步转移概率矩阵.4/116/916/316/32/116/516/116/58/5210)2(2102PP于是:}1,0{)(20XXPi}0|1{}0{020XXPXP;48516531)2()0(010PP}1{)2()(21XPpii)2()0()2()0()2()0(212111010PpPpPp1692116531.2411在传输系统中,真率与三级求系统二级传输后的传设,9.0)1(p传输后的误码率;,}1{)0()2(01XPp设初始分布.1}0{)0(00XPp系统经n级传输后输出为1,问原发字符也是1的概率是多少?例210解先求出n步转移概率矩阵.,1010pqqpP因为有相异的特征值qp21,1所以可将P表示成对角阵,0010021qp11)(HHHHPnnn则.)(2121,)(2121)(2121,)(21211010nnnnqpqpqpqp率与三级系统二级传输后的传真当,9.0)1(p传输后的误码率分别为:,820.0)1.09.0(2121)2()2(20011PP;244.0)1.09.0(2121)3()3(30110PP(2)根据贝叶斯公式,当系统经n级传输后输出为1,原发字符也是1的概率为:}1{}1|1{}1{}1|1{000nnnXPXXPXPXXP)()0()()0()()0(111010111nPpnPpnPp.))(12(1)(nnqpqp说明.1,0,111010babbaaPn步转移概率矩阵为)()()()(10)(1011100100nPnpnPnpPnPn矩阵一般可表示为:.,2,1n,)1(1bbaababaababban对于只有两个状态的马氏链,一步转移概率四、小结切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(简称C–K方程).,2,1,),()()(1kkjikijjivpuPvuP马氏链的n步转移概率是一步转移概率的n次方,链的有限维分布可由初始分布和一步移概率完全确定.由C–K方程可得