第六章 线性离散系统分析

连续控制系统：控制系统中的所有信号都是连续型的时间函数离散控制系统：控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，它们仅在离散的时刻有定义采样控制系统：系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统称为采样控制系统或脉冲控制系统。数字控制系统：离散信号是数字序列形式的离散系统称为数字控制系统或计算机控制系统。6-1离散系统的基本概念一、采样控制系统炉温采样控制系统原理：只有当检流计的指针与电位器接触时，电动机才在采样信号作用下产生运动，进行炉温调节，而在检流计与电位器脱开时，电动机就停止不动，保持一定的阀门开度，等待炉温缓慢变化。在采样控制情况下，电动机时转时停，所以在调节过程中超调现象大为减少，使动态性能得到改善。电位器的输出电压模拟信号：时间上和幅值上都连续的信号，称为模拟信号。通常，测量元件、执行元件和被控对象是模拟元件。离散模拟信号：时间上离散而幅值上连续的信号，称为离散模拟信号。控制器中的脉冲元件，其输入和输出为脉冲信号。为了使两种信号在系统中能相互传递，在连续信号和脉冲序列之间要用采样器，而在脉冲序列和连续信号之间要用保持器，以实现两种信号的转换。采样器和保持器，是采样控制系统中两个特殊环节。采样器：把连续信号转变为脉冲信号的过程称为采样过程，实现该过程的装置称为采样器或采样开关。采样器的采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关形象地表示。f(t)f(t)t0t0T)(tf(a)(b)(c))(tfT信号采样过程*表示离散化在实际应用中，采样开关均为电子开关，闭合时间极短，采样持续时间τ远远小于采样周期T，也远远小于系统连续部分的最大时间常数，为了简化系统的分析，可以认为τ趋于0。实现这种采样过程的采样器称为理想的采样器或理想的采样开关。f(t)f(t)t0t0T)(tfT2T3T)(tf)(tf理想的采样过程保持器：把脉冲序列转变为连续信号的装置称为保持器。最常用的保持器是零阶保持器，它是把前一采样时刻nT的采样值，恒定不变地保持到下一个采样时刻(n+1)T,从而使采样信号f*(t)变成阶梯信号fh(t)。0T2T3T4Tt0T2T3T4Tt零阶保持器)(tf)(tfh)(tfh)(tf采样系统的典型结构图脉冲控制器保持器被控对象测量元件0tttt)(t)(tu)(tuh)(tr)(tc)(tb)(t)(t)(tu)(tr)(tuh000二、计算机控制系统环形炉压力控制系统数字信号：当用计算机作为控制系统中的一个环节时，计算机的输入和输出只能是二进制编码的数字信号，即时间上和幅值上都离散的信号。而系统中的模拟元件，例如被控对象或测量元件的输入和输出是连续信号。所以在计算机控制系统中需要应用A/D和D/A转换器，来实现两种信号的转换，他们是计算机控制系统中的两个特殊环节。A--Analogsignals,D--Digitalsignals。A/D转换器：把连续的模拟信号转换成离散数字信号f(t)t0t0)(tfT2T3T4T5Tt0)(tfT2T3T4T5T01001001011110101011采样整量(a)(b)(c)A/D转换过程可以用周期为T的理想采样开关表示A/D转换过程D/A转换器：把离散的数字信号转换成连续的模拟信号。fh(t)t0t0)(tfT2T3T4T5Tt0)(tfT2T3T4T5T01001001011100100011解码信号复现(a)(b)(c)1000T2T3T4T5TD/A转换过程可以用零阶保持器取代。D/A转换过程计算机控制系统的典型结构图数字控制器D/A被控对象测量元件)(tuh)(tc)(t)(t)(tu)(trA/D数字计算机无论计算机控制系统还是采样控制系统均为离散控制系统，以后介绍的分析方法对这两种系统都适用。6-2信号采样与保持一、采样过程的数学描述1.采样过程的数学表示从物理意义来看，采样过程可以理解为脉冲调制过程。在这里，采样开关起着单位脉冲发生器的作用，它好似一个脉冲调制器，通过它将连续函数f(t)调制成理想的脉冲序列f*(t)。脉冲调制器f(t)t0)(tTT2T3T-T-2T-3Tf(t))(tf0t)(tT)(tf*0()(0)()()()(2)(2)()()()()nftftfTtTfTtTfnttnTfnTtnT*0()()()nftfnTtnT采样的脉冲调制过程2.采样信号的拉普拉斯变换对采样信号进行拉氏变换，可得根据拉氏变换的位移定理，有所以，采样信号的拉氏变换)]([)(])()([)]([)(00**nTtLnTenTtnTeLteLsEnnnTsstnTsedtetenTtL0)()]([0*)()(nnTsenTesE二、采样周期的选择采样周期T选得越小，即采样频率ws选得越高，对控制过程信息了解得越多，控制效果也越好。但是，采样周期T选得过短，将给计算机增加不必要的负担。另外，采样频率太高，干扰对系统的影响也明显上升。反之，T选得过长又会给控制过程带来较大的误差，降低系统的动态性能，而且有可能导致整个系统的不稳定。工程实践表明，随动系统的采样频率可选为ws=10wcwc为开环系统的截止频率。cswTwT152从时域性能指标来看，采样周期可按如下经验公式选取：stT401三、零阶保持器零阶保持器的作用是把nT时刻的采样值一直保持到下一个时刻(n+1)T出现前的瞬间，从而使采样信号变成阶梯信号。0T2T3T4Tt0T2T3T4Tt零阶保持器)(tf)(tfh)(tfh)(tf即：gh(t)=1(t)-1(t-T)seesssGTsTsh111)(零阶保持器的传递函数为：gh(t)-1(t-T)1(t)+＝TTttt0006-3Z变换理论通过Z变换处理后的离散系统，可以把连续系统中的许多方法，例如稳定性分析、稳态误差计算、时间响应等，经过适当改变后直接用于离散系统的分析和设计中。连续系统的分析工具——微分方程及拉氏变换离散系统的分析工具——差分方程及Z变换拉氏变换0ln0)()()(ln,)()]([)(nnTzsTsnnTsznTfsFzFTzsezenTftfLsF则令定义的Z变换，记做:)()(*tfzF为函数)]([)(*tfZzF为了书写方便，记做：)()(tfZzF一、Z变换定义：f(t)的采样函数0)()()(nnTtnTftf1.级数求和法直接根据Z变换的定义由f(t)求F(Z)Z变换的求法：求离散时间函数的Z变换有多种方法，下面主要介绍两种：0)()(nnznTfzF例1求单位阶跃函数1(t)的Z变换。解：因为单位阶跃函数在任何采样时刻的值均为1，所以f(nT)=1n=0,1,2,…代入公式后，当时，上式的无穷级数是收敛的，利用等比级数求和的公式可以把它写成闭式。0120()1111nnFzzzzz11z111)()](1[1zzzzFtZ例2求指数函数e-at的Z变换。,2,1,0,)(nenTfanT22101)(zezezezFaTaTnnanT当时，上式的无穷级数也是收敛的。于是求得e-at的Z变换为：11zeaTaTaTatezzzezFeZ111)(][解：令t=nT,则指数函数e-anT在各采样时刻的值为代入公式得：2.部分分式法用部分分式法求Z变换，是已知连续函数f(t)的拉氏变换F(s),求该连续函数的Z变换F(z)。f*(t)f(t)F(s)F(z)采样L-1Z部分分式例求的Z变换)()(assasFassassasF11)()(aTaTaTaTezezezezzzzzF)1()1(1)(21L)(1)(ttf1Latetf)(解：将F(s)展开成部分分式序号拉氏变换时间函数Z变换F(z)11δ(t)121/s1(t)31/s2t41/s35e-at6at/T1zz2)1(zTz32)1(2)1(zzzTaTezzaTsln)/1(1azz常用函数的Z变换表22tas1二、Z变换的基本性质)()()]()([2121zFzFtftfZ)()]([zaFtafZ②原函数线性组合的Z变换，等于各原函数Z变换的线性组合1.线性定理①常数可以提到Z变换符号的外面；2.实域位移定理)()]([zFznTtfZn])()([)]([10nkknzkTfzFznTtfZ若,则超前定理变成0])1[()()0(TnfTff)()]([zFznTtfZn①延迟定理原函数在实域中延迟n个采样周期的Z变换，等于象函数乘以z-n，即②超前定理原函数在时域中超前n个采样周期的Z变换为由实域位移定理可以看到，算子z有明确的物理意义。z-n代表时域中的延迟环节，它把采样信号延迟n个采样周期。同样，zn代表超前环节，它把采样信号超前n个采样周期。3.复域位移定理ateaTe][)]([zeFtfeZaTat)(limzFz)(lim)(lim)0(0zFnTffzn原函数乘以的Z变换，等于象函数的自变量z乘以4.初值定理若极限存在，则原函数的初值等于象函数的终值，即：5.终值定理若f(nT)(n=0,1,2,)均为有限值，则原函数的终值等于象函数乘以(1-z-1)当z1时的值，即)()1(lim)()(1lim)()1(lim)(lim)(1111zFzfzFzzzFznTffzzzn或注意：仅当极限存在时，才能应用Z变换的终值定理。终值定理是计算离散系统稳态误差的重要定理。)(limnTfn三、Z反变换定义：由F(z)，求出时域的离散时间函数f*(t)，称为Z反变换，记作)()]([1tfzFZZ反变换对应的脉冲序列惟一对应的时间函数不惟一0)()(nnznTfzF0)()()(nnTtnTftf对应脉冲序列Z反变换的方法1.长除法nnmmzazazazbzbzbbzF2211221101)(式中分子、分母多项式的阶数满足n=m,多项式系数b0,b1,bm;a1,an均为常数。通过对F(z)直接作长除法，可以得到按z-1升幂排列的幂级数展开式:nnzczczcczF22110)()()2()()()(210*nTtcTtcTtctctfn例试用长除法求的Z反变换。)5.0)(1(5.0)(zzzzF43219375.0875.075.05.0)(zzzzzF)4(9375.0)3(875.0)2(75.0)(5.0)(TtTtTtTttf9375.0)4(,875.0)3(,75.0)2(,5.0)(TfTfTfTf110.5()lim[(1)()]lim(1)1(1)(0.5)zzzfzFzzzz解：将F(z)的分子除以分母，得15050z.z.125075050z..z.50512.z.z2750z.1250750z..2137501251750z.z..2137508750z.z.38750z.T2T3T4T5T1t02.部分分式法将展开成部分分式之和的形式：niiiniiizzzAzFzzAzzF11)()(zzF)(0)()()(*)()(nnTtnTftftfzF例1用部分分式法求的Z反变换。))(1()1()(aTaTezzzezFaTaTaTaTezzzzzFe