2016-2017新课标创新文数总复习 选修4-5 不等式选讲

版权所有:中国好课堂第一节绝对值不等式考纲要求：1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.1．绝对值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|2的解集为∅.()(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立．()(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．()版权所有:中国好课堂(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2．若关于x的不等式|x－a|1的解集为(1,3)，则实数a的值为________．解析：由|x－a|＜1，则－1＜x－a＜1，∴a－1x＜a＋1，∴a＝2.答案：23．设不等式|x＋1|－|x－2|k的解集为R，则实数k的取值范围为____________．解析：∵||x＋1|－|x－2||≤3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，∴k＜(|x＋1|－|x－2|)的最小值，即k＜－3.答案：(－∞，－3)4．f(x)＝|2－x|＋|x－1|的最小值为________．解析：∵|2－x|＋|x－1|≥|2－x＋x－1|＝1,∴f(x)min＝1.答案：15．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2＝5.答案：5[典题1](2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．[听前试做](1)当a＝1时，f(x)1化为|x＋1|－2|x－1|－10.当x≤－1时，不等式化为x－40，无解；当－1x1时，不等式化为3x－20，解得23x1；当x≥1时，不等式化为－x＋20，解得1≤x2.所以f(x)1的解集为23，2.版权所有:中国好课堂(2)由题设可得f(x)＝x－1－2a，x－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a∈(0，＋∞)，|x|a⇔－axa，|x|a⇔x－a或xa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．(2015·贵阳模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围．解：(1)不等式f(x)≤6，即|2x＋1|＋|2x－3|≤6，∴①x－12，－2x－1＋3－2x≤6，或②－12≤x≤32，2x＋1＋3－2x≤6，或③x32，2x＋1＋2x－3≤6，解①得－1≤x＜－12，解②得－12≤x≤32，解③得32x≤2，版权所有:中国好课堂即不等式的解集为[－1,2]．(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，即f(x)的最小值等于4，∴|a－1|4，解此不等式得a－3或a5.故实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．[典题2]设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：13a＋16b＜14；(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．[听前试做](1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝3，x≤－2，－2x－1，－2＜x＜1，－3，x≥1.由－2＜－2x－1＜0，解得－12＜x＜12，则M＝－12，12.所以13a＋16b≤13|a|＋16|b|＜13×12＋16×12＝14.(2)由(1)得a2＜14，b2＜14.因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|.证明绝对值不等式的三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．版权所有:中国好课堂，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.∴由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×14＝1.即|x＋5y|≤1.[典题3]设函数f(x)＝x＋1a＋|x－a|(a0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)5，求a的取值范围．[听前试做](1)证明：由a0，有f(x)＝x＋1a＋|x－a|≥x＋1a－x－a＝1a＋a≥2.当且仅当“a＝1”时等号成立．所以f(x)≥2.(2)f(3)＝3＋1a＋|3－a|.当a3时，f(3)＝a＋1a，由f(3)5得3a5＋212.当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋1a，由f(3)5得1＋52a≤3.综上，a的取值范围是1＋52，5＋212.解决含参数的绝对值不等式问题，常将参数分类讨论，将原问题转化为分段函数问题进行解决．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)g(x)的解集；版权所有:中国好课堂(2)设a－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－30.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝－5x，x12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y0.所以原不等式的解集是(0,2)．(2)当x∈－a2，12时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈－a2，12都成立．故－a2≥a－2，即a≤43.从而a的取值范围是－1，43.——————————[课堂归纳——感悟提升]————————————————[方法技巧]1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法(1)若c＞0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可．(2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2．|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法(1)可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．零点分区间法的一般步骤：①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．版权所有:中国好课堂(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．3．|f(x)|＞g(x)，|f(x)|＜g(x)(g(x)＞0)型不等式的解法(1)|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．(2)|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．[易错防范]在分类讨论含多个绝对值的不等式时，分类应做到不重不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集．1．(2016·沈阳模拟)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)0；(2)若f(x)＋3|x－4|m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．解：(1)当x≥4时，f(x)＝2x＋1－(x－4)＝x＋50，得x－5，所以x≥4.当－12≤x＜4时，f(x)＝2x＋1＋x－4＝3x－30，得x1，所以1x4.当x－12时，f(x)＝－x－50，得x－5，所以x－5.综上，原不等式的解集为(－∞，－5)∪(1，＋∞)．(2)f(x)＋3|x－4|＝|2x＋1|＋2|x－4|≥|2x＋1－(2x－8)|＝9，当－12≤x≤4时等号成立，所以m9，即m的取值范围为(－∞，9)．2．(2016·南宁模拟)已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若f(x)≤m的解集为[－1,5]，求实数a，m的值；(2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．解：(1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，∴a＝2，m＝3.(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|.当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；版权所有:中国好课堂∈[0,2)时，2－x＋t≥x，x≤1＋t2，0≤x≤1＋t2，∵1≤1＋t2≤2，∴0≤t＜2时，0≤x≤1＋t2，t＝2时，0≤x＜2；当x∈[2，＋∞)时，x－2＋t≥x，t≥2，当0≤t＜2时，无解，当t＝2时，x∈[2，＋∞)，∴当0≤t＜2时原不等式的解集为－∞，t2＋1；当t＝2时x∈R.3．(2016·上饶联考)已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－m)．(1)当m＝7时，求函数f(x)的定义域；(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的