《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解三角函数图象与性质(含解析)

《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法第三节三角函数图象与性质[知识能否忆起]1．周期函数(1)周期函数的定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{xx∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R单调性2kπ－π2，π2＋2kπ(k∈Z)上递增；2kπ＋π2，3π2＋2kπ(k∈Z)上递减[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减kπ－π2，π2＋kπ(k∈Z)上递增最值x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)π2＋kπ，0(k∈Z)kπ2，0(k∈Z)对称轴方程x＝π2＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ[小题能否全取]1．函数y＝tanπ4－x的定义域是()A.xx≠π4，x∈RB.xx≠－π4，x∈RC.xx≠kπ－3π4，k∈Z，x∈RD.xx≠kπ＋3π4，k∈Z，x∈R解析：选D∵x－π4≠kπ＋π2，∴x≠kπ＋3π4，k∈Z.2．(教材习题改编)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是()A．y＝cos2xB．y＝sin2xC．y＝tan2xD．y＝sin2x－π2解析：选B选项A、D中的函数均为偶函数，C中函数的最小正周期为π2，故选B.3．函数y＝|sinx|的一个单调增区间是()A.－π4，π4B.π4，3π4C.π，3π2D.3π2，2π解析：选C作出函数y＝|sinx|的图象观察可知，函数y＝|sinx|在π，3π2上递增．4．比较大小，sin－π18________sin－π10.解析：因为y＝sinx在－π2，0上为增函数且－π18－π10，故sin－π18sin－π10.答案：《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法5．(教材习题改编)y＝2－3cosx＋π4的最大值为________．此时x＝________.解析：当cosx＋π4＝－1时，函数y＝2－3cosx＋π4取得最大值5，此时x＋π4＝π＋2kπ，从而x＝34π＋2kπ，k∈Z.答案：534π＋2kπ，k∈Z1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：(1)y＝sinωx－π4；(2)y＝sinπ4－ωx.2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期．三角函数的定义域与值域典题导入[例1](1)(2013·湛江调研)函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为________．(2)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A．[－1,1]B.－54，－1C.－54，1D.－1，54[自主解答](1)要使函数有意义必须有sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法解得2kπxπ＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，∴2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z，∴函数的定义域为x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z.(2)y＝sin2x＋sinx－1，令sinx＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－12及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈－54，1.[答案](1)x2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z(2)C若本例(2)中x∈0，π2，试求其值域．解：令t＝sinx，则t∈[0,1]．∴y＝t2＋t－1＝t＋122－54.∴y∈[－1,1]．∴函数的值域为[－1,1]．由题悟法1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sinx、cosx的值域；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．以题试法1．(1)函数y＝2＋log12x＋tanx的定义域为________．(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f(x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为()《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法A.－32，32B.－32，3C.－332，332D.－332，3解析：(1)要使函数有意义则2＋log12x≥0，x0，tanx≥0，x≠kπ＋π2，k∈Z⇒0x≤4，kπ≤xkπ＋π2k∈Z.利用数轴可得函数的定义域是x0xπ2，或π≤x≤4.(2)当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3即此时函数f(x)的值域是－32，3.答案：(1)x0xπ2，或π≤x≤4(2)B三角函数的单调性典题导入[例2](2012·华南师大附中模拟)已知函数y＝sinπ3－2x，求：(1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．[自主解答]由y＝sinπ3－2x可化为y＝－sin2x－π3.(1)周期T＝2πω＝2π2＝π.(2)令2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.所以x∈R时，y＝sinπ3－2x的减区间为《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.从而x∈[－π，0]时，y＝sinπ3－2x的减区间为－π，－7π12，－π12，0.由题悟法求三角函数的单调区间时应注意以下几点：(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx＋φ看作是一个整体，由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间．(2)形如y＝Asin(－ωx＋φ)(A0，ω0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y＝－Asin(ωx－φ)，由－π2＋2kπ≤ωx－φ≤π2＋2kπ(k∈Z)得到函数的减区间，由π2＋2kπ≤ωx－φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)得到函数的增区间．(3)对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等，函数的单调区间求法与y＝Asin(ωx＋φ)类似．以题试法2．(1)函数y＝|tanx|的增区间为________．(2)已知函数f(x)＝sinx＋3cosx，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ3，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cabC．bacD．bca解析：(1)作出y＝|tanx|的图象，观察图象可知，y＝|tanx|的增区间是kπ，kπ＋π2，k∈Z.(2)f(x)＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3，因为函数f(x)在0，π6上单调递增，所以fπ7fπ6，而c＝fπ3＝2sin2π3＝2sinπ3＝f(0)fπ7，所以cab.答案：(1)kπ，kπ＋π2，k∈Z(2)B《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法三角函数的周期性与奇偶性典题导入[例3](2012·广州调研)已知函数f(x)＝sin2x＋3π2(x∈R)，给出下面四个命题：①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称；④函数f(x)在区间0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[自主解答]函数f(x)＝sin2x＋3π2＝－cos2x，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由f(x)＝－cos2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝π4对称，③错误；由f(x)的图象易知函数f(x)在0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C.[答案]C由题悟法1．三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2．求三角函数周期的方法(1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|；(3)利用图象．3．三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．以题试法3．(1)(2013·青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在π4，π2上为减函数的是()A．y＝sin2x＋π2B．y＝cos2x＋π2《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案+复习技法C．y＝sinx＋π2D．y＝cosx＋π2(2)(2012·遵义模拟)若函数f(x)＝sinax＋cosax(a0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为()A.－π8，0B．(0,0)C.－18，0D.18，0解析：(1)选A对于选项A，注意到y＝sin2x＋π2＝cos2x的周期为π，且在π4，π2上是减函数．(2)选C由条件得f(x)＝2sinax＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a＝2π，故f(x)＝2sin2πx＋π4.将x＝－18代入得函数值为0.1．函数y＝cosx－12的定义域为()A.－π3，π3B.kπ－π3，kπ＋π3，k∈ZC.2kπ－π3，2kπ＋π3，k∈ZD．R解析：选C∵cosx－12≥0，得cosx≥12，∴2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z.2．已知函数f(x)＝sinx－π2(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间0，π2上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数解析：选D∵y＝sinx－π2＝－cosx，∴T＝2π，在0，π2上是增函数，图象关于y轴对称，为偶函数．《三维设计》2014届