概率论与数理统计(第四版)复习资料全

上页下页铃结束返回首页二、一元随机变量及其数字特征（一）离散型描述或刻划离散型随机变量可用（1）概率分布表（2）概率函数（3）离散型随机变量X的分布函数（4）一维离散型随机变量的函数的分布（5）一元离散型随机变量及其函数的数学期望（6）一元离散型随机变量的方差上页下页铃结束返回首页分布函数性质P38(2)F(x)非降,即x1x2)()(21xFxF如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vx的分布函数.也就是说，性质(1)--(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件(1)0≤F(x)≤1;1)(lim,0)(lim)3(xFxFxx(4)F(x)右连续，即)()(lim00xFxFxx上页下页铃结束返回首页1设随机变量X为分布表第7次XP-1241/41/21/4求X的分布函数F(x),并绘图解)(xF=1x021x4142x434x1上页下页铃结束返回首页5设随机变量X的分布函数为31323212314110)(xxxxxF求X的分布律解XP0233414121上页下页铃结束返回首页4设随机变量X为分布表XP202101102104102101求下列随机变量的分布律(1)||1XY)2cos(2XY(2)解||1XYP02525251)2cos(2XYP101515351上页下页铃结束返回首页1设随机变量X为分布表第9次XP-100.5121/31/61/61/121/4)1(XE)(2XE求（１）（2）解)1(XE1EX321)4121211615.0610311()(2XE2435412121161)5.0(61031)1(22222上页下页铃结束返回首页1设随机变量X为分布表第10次XP012340.10.20.10.40.2求(1)D(-X)(2)D(2X+3)解4.22.044.031.022.011.00EX4.72.044.031.022.011.00222222EX64.1)(22EXEXDX64.1)(DXXD56.64)32(DXXD上页下页铃结束返回首页例3设x概率分布表为X015P0.20.70.1求E(X)E(X2)D(X)E(1+x)E(sinx)解EX2.11.057.012.002EX1.057.012.002222.3)1(XE1.0)51(7.0)11(2.0)01()(sinXE1.05sin7.01sin2.00sin上页下页铃结束返回首页（3）期望E(X)是一个常数。（4）期望表示的是随机变量取值的平均且是以概率为权重的加权平均。例2设X概率分布表为X10123P0.30.10.20.2a求(1)a(2)E(X)(3)E(2X1)(4)E(X2)(5)D(X)注意：(6)D(2X1)上页下页铃结束返回首页X10123P0.30.10.20.2a解(1)∵0.3+0.1+0.2+0.2+a=1∴a=0.2(2)E(X)=0.9=-10.3+00.1+10.2+20.2+30.2上页下页铃结束返回首页例1设X概率分布表为X10123P0.30.10.20.20.2求(1)a(2)E(X)（0.9）(3)E(2X1)(4)E(X)2(5)D(X)解(4)∵E(X)0.9法1∴D(X)=E[XE(X)]2=E(X0.9)2((-1)-0.9)20.3(00.9)20.1+(1-0.9)20.2+(2-0.9)20.2+(3-0.9)20.2法2E(X)2(-1)20.3020.1+120.2+220.2+320.23.1∴D(X)=E(X2)(EX)23.1-0.922.292.29(6)D(2X1)上页下页铃结束返回首页X10123P0.30.10.20.20.2(3)解法12X13-1135P0.30.10.20.20.2∴E(2X1)0.8解法2[(2(-1)-1)0.3(201)0.1+(21-1)0.2+(22-1)0.2+(23-1)0.2]0.8E(2X1)51)12(kkkpx=-30.3+(-1)0.1+10.2+30.2+50.2上页下页铃结束返回首页(4)解法1X210149P0.30.10.20.20.2∴E(X)23.1解法2(-1)20.3020.1+120.2+220.2+320.23.1E(X)2512kkkpx=10.3+00.1+10.2+40.2+90.2X10123P0.30.10.20.20.2上页下页铃结束返回首页二、随机变量及其数字特征（二）连续型描述或刻划连续型随机变量可用（1）概率密度函数（2）连续型随机变量X的分布函数（3）一维连续型随机变量的函数的分布（4）一元连续型随机变量及其函数的数学期望（5）一元连续型随机变量的方差上页下页铃结束返回首页2连续型随机变量X的分布函数性质P41性质2)()('xfxF在的连续点处)(xf为连续函数性质1xdttfxF)()(注意：由F(x)的连续性与F（∞）=1，F（-∞）=0可确定常数）上页下页铃结束返回首页.连续型r.v的概率计算,0)()1(aXP)()()2(bXaPbXaP)(bXaP)(bXaPbadxxf)()()()3(aXPaXPadxxf)()()()4(aXPaXPadxxf)(上页下页铃结束返回首页,0)()1(aXP)()()2(bXaPbXaP)(bXaP)(bXaPbadxxf)()()(aFbF)()()3(aXPaXPadxxf)()(aF)()()4(aXPaXPadxxf)()(1aF连续型r.v的概率计算上页下页铃结束返回首页例1。已知连续型r.vX的概率密度为：求（1）系数k)5.25.1()2(XP解dxxf)(1)1(2200)()()(dxxfdxxfdxxf20)1(dxkx202|)2(xxk0)222(2k)22(k∴k=-1/2)1()3(XP上页下页铃结束返回首页例1。已知连续型r.vX的概率密度为：求（1）系数k解（1）k=-1/2)5.25.1()2(XP5.25.1)(dxxf5.2225.1)()(dxxfdxxf25.1)121(dxx25.12|)221(xx=0.0625)5.25.1()2(XP)1()3(XP上页下页铃结束返回首页求（1）系数k解（1）k=-1/21)(dxxf100)()(dxxfdxxf10)121(dxx102|)221(xx=0.0625=0.75例1。已知连续型r.vX的概率密度为：)5.25.1()2(XP)5.25.1()2(XP)1()3(XP)1()3(XP上页下页铃结束返回首页求（1）系数k解（1）k=-1/21)(dxxf100)()(dxxfdxxf10)121(dxx102|)221(xx=0.0625=0.75例1。已知连续型r.vX的概率密度为：)5.25.1()2(XP)5.25.1()2(XP)1()3(XP)1()3(XP上页下页铃结束返回首页例4已知连续型r.vX的概率密度为：求（1）系数k)5.25.1()2(XP解（1）k=-1/2=0.0625)1()3(XP=0.75（4）F(x).)()(xXPxFxdttf)()(x（4）当x0时，)()(xXPxFxdttf)(=0当0≤x2时，)()(xXPxFxdttf)(xdttdt00)121(0xx241当x≥2时F(x)=1)5.25.1()2(XP)1()3(XP上页下页铃结束返回首页21204100)(2xxxxxxF即（2）P(1.5X≤2.5))5.1()5.2(FF)5.15.141(12=0.0625)1()3(XP)1(F11412=0.75上页下页铃结束返回首页例4设r.vX的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞x+∞)求（1）常数A、B（2）X的密度函数f(x)解(1))arctan(lim)(limxBAxFxxBA2=1)arctan(lim)(limxBAxFxxBA2=0∴A=1/2B=1/)()()2(xfxF)()1(1)(2xxxf上页下页铃结束返回首页例：设随机变量X的分布函数为：axaxaBAaxxFax0arcsin1)(求：(1)A、B之值；(2)X落在)2,2(aa内的概率；(3)X的概率密度。上页下页铃结束返回首页（1）先求出Y的分布函数FY(y)}{yYP})({yXgP（2）然后对FY(y)求导得到Y的概率密度函数)(yFY写出式子不计算一维连续型随机变量的函数的密度函数求法P51)(XgY)(yfY方法一方法二Y=g(X)严格单调,且反函数为X=h(y)则)(yfY|)(|))(('yhyhfX)(y上页下页铃结束返回首页6设随机变量X的概率密度为0)1(200)(2xxxxp求XYln的概率密度解法一)(yFY}{yYP}{lnyXP}{yeXP)(yXeF)(ypY])([)(yXYeFyFyyXeep)()1(22yyee)(y解法二xyln单调上升，其反函数为yex)(yyexyyXeep)()(y|)(|))(()(yhyhpypXY)1(22yyee上页下页铃结束返回首页例9。已知连续型r.vX的概率密度为：求（1）系数A(2)E(X)(3)E(2X1)(4)E(X2)(5)D(X)(6)D(2X1)上页下页铃结束返回首页解dxxf)(1)1(2100)()()(dxxfdxxfdxxf102dxAx3A∴A=３dxxxfXE)()()2(1023)(dxxxXE43上页下页铃结束返回首页(4)E(X2)(3))12(XEdxxfx)()12()12(XE1023)12(dxxx1023)2(3dxxx=5/2dxxfx)(210223dxxx=3/5上页下页铃结束返回首页例2。已知连续型r.vX的概率密度为：求（1）系数A（=3）(2)E(X)（3/4）(3)E(2X1)(4)E(X)2(5)D(X)解(5)∵E(X)3/4法1∴D(X)=E[XE(X)]2=E(X3/4)2dxxfx)()4/3(210223)4/3(dxxx法2E(X)2dxxfx)(210223dxxx=3/5∴D(X)=E(X2)(EX)23/5-(3/4)2=3/80=3/80上页下页铃结束返回首页三、期望和方差的性质P101(1)E(c)=c(2)E(Xc)=E(X)c(3)E(kX)=kE(X)(4)E(kXc)=kE(X)cD(c)=0D(Xc)=D(X)D(kX)=k2D(X)D(kXc)