概率论与数理统计--- 边缘分布

1小结联合分布函数离散型连续型),(),(),(),(},{211112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP——联合分布列——联合概率密度jijipyYxXP},{,2,1,jiyyxxjijipyYxXPyxF,},{),(yxdudvvufyxF),(),(dxdyyxfGyxPyxfyxyxFG),(}),({),(),(2X与Y的联合分布},{),(yYxXPyxF非负性规范性),(yxf2例7:设二维随机变量(,)XY的分布函数13330,0(,).0xyxyxyFxy其它求(X,Y)的概率密度.解31.均匀分布定义设D是平面上的有界区域,其面积为S,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在D上服从均匀分布.1,(,),(,)0,.xyDfxyS其它四、两个常用的分布(X,Y)落在D中某一区域A内的概率P{(X,Y)A},与A的面积成正比而与A的位置和形状无关.4解:例2设(X,Y)服从圆域x2+y2≤4上的均匀分布.计算P{(X,Y)A},这里A是图中阴影部分的区域圆域x2+y2≤4的面积d=4区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的三角区域,并且包含在圆域x2+y2≤4之内,面积=0.5∴P{(X,Y)A}=0.5/4=1/852.二维正态分布若二维随机变量(X,Y)具有概率密度2211222221212()2()()()12(1)2121(,)2π1xμρxμyμyμσσρσσfxyeσσρ.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且均为常数其中),,(yx记为正态分布的二维服从参数为则称.,,,,),(2121ρσσμμYX),,,,(~),(222121ρσσμμNYX6),(limyxFy),(xF},{YxXP§3.2边缘分布联合分布F(X,Y)（X,Y）整体地看局部地看FY(y)FX(x)XY二维联合分布F(X,Y)全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.问题：二者之间有什么关系吗?分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数但作为一维随机变量,X,Y也有自己的分布函数.}{)(xXPxFX.),()(yFyFY;),(xF由联合分布可以确定边缘分布由边缘分布一般不能确定联合分布反之?转化为一维时的情形7例:设(,)XY的联合分布函数0.50.50.5()10,0(,).0xyxyeeexyFxy其它求(,)XY关于X的边缘分布函数()XFx.解(X,Y)关于X的边缘分布函数0.50.50.5()0.5()(,)lim(,)lim[1]0100000XyxyxyxyFxFxFxyeeexexxx即X服从参数λ=0.5的指数分布.二、二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为:P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,…)则:P{X=xi}=P{X=xi,Y+}=pi·1},{jjiyYxXP1jijp同理:分别称pi·(i=1,2,…)和p·j(j=1,2,…)为X和Y的边缘分布律另有:=p·jFY(y)=F(+,y)FX(x)=F(x,+)1}{iijjpyYPxxjijipiyyijjp10【注】边缘分布律可由联合分布律表所决定:YX1y2yjy.ip1x11p12p1jp1.p2x21p22p2jp2.pix1ip2ipijp.ip.jp.1p.2p.jp1即.ip是联合分布律表中ix所在行的概率之和.jp是联合分布律表中jy所在列的概率之和例1设(X,Y)的分布律如下:YX012011/41/61/81/41/81/12求X和Y的边缘分布律解:X的边缘分布律:,i=0,i=1,i=2,j=0,j=1Y的边缘分布律:pi·=p·j=214141247816124512181241381614124111218141或直接在表格上:YX012p·j011/41/61/81/41/81/12pi·1/27/245/2413/2411/241ijijp14FX(x)=F(x,+)X和Y的联合分布函数为F(x,y),则(X,Y)关于X的边缘分布函数为(X,Y)关于Y的边缘分布函数为),(limyxFy三、连续型二维随机变量的边缘概率密度xdudyyuf]),([xyydudvvuf),(limxdudyyuf]),([xXXtdtfxF)()(yYdvdxvxfyF]),([)((X,Y)关于Y的边缘概率密度为dxyxfyfY),()(则(X,Y)关于X的边缘概率密度为dyyxfxfX),()(例2设随机变量(X,Y)的概率密度为求:X和Y的边缘概率密度解:0,其它=0≤x≤1其它,020,10,31),(2yxxyxyxfdyyxfxfX),()(,)31(202dyxyx=0,其它0≤y≤2dxyxfyfY),()(其它,010,3222xxx,)31(102dxxyx其它,020,6131yy在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度是分段函数时，在计算积分时应特别注意积分限.17yx-a0a例3设(X,Y)服从椭圆域上的均匀分布,求12222byax(1)求(X,Y)的边缘密度函数;)(),(yfxfYX解(1),,0;1,1),(2222其它byaxbayxf由题知(X,Y)的概率密度为dyyxfxfX),()(同理可得.,0;,12)(22bybybybyfY(2)AdxdyyxfAYXP),(}),({(2),其中A为区域:}0,0,{yxayx}),({AYXPX与Y不服从均匀分布,1222211axaxbbdyba;1222axa，ax||,0axadybadx001;||ax.2ba二维均匀分布的两个边缘密度未必是均匀分布的二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布221axby221axbyyxa0aGx+y=a二维正态分布的边缘分布仍是正态分布例4设(X,Y)服从二维正态分布,其概率密度为:求:X和Y的边缘概率密度)2()1(212222121),(yxyxeyxfx+,y+,解:令,得:dyyxfxfX),()(dyeyxyx)1(222222121dyeexyx)1(2)(22222112txy21dteexftxX22222)(同理,得:dteetx22222122221xe2221)(yYeyf可见,(X,Y)～N(1,2,12,22,)X~N(1,12),Y~N(2,22)21说明对于确定的1,2,1,2,当不同时，对应了不同的二维正态分布。对这个现象的解释是:边缘概率密度只考虑了单个分量的情况,而未涉及X与Y之间的关系.(X1,X2)∼N(1,2,,)X1∼X2∼(与参数无关)),(211N),(222N2221,22例5若二维随机变量(X,Y)的概率密度为,,,)sinsin1(21),(222yxyxeyxfyx求边缘密度函数.)(),(yfxfYX解dyyxfxfX),()(dyyxeeeyyx)sinsin(21222222;,2121222222xeydeexyx同理.,21)(22yeyfyY.)1,0(;)1,0(NYNX～～二维正态分布性质二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的正态分布的联合分布未必是正态分布但反之不真23X与Y之间的关系这个信息是包含在(X,Y)的联合概率密度函数之内的.在下一章将指出,对于二维正态分布而言,参数正好刻画了X和Y之间关系的密切程度.因此,仅由X和Y的边缘概率密度(或边缘分布),一般不能确定(X,Y)的概率密度函数(或概率分布)