概率论与数理统计1.4

第四节条件概率与全概率公式一、条件概率与乘法定理二、全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率与乘法定理1.条件概率A,B为两个事件，在事件B发生条件下，事件A发生的概率称为B发生条件下A的条件概率，记为P(A|B).引例一盒子中混有新旧两种球共100个，新球中有白球40个，红球30个，旧球中有白球20个，红球10个，现从盒子中任取一球，已知取出的是新球，求取得的是白球的概率。设A:取得白球。B:取得新球。现列表如下：解：白球红球小计新球403070旧球201030小计6040100P(AB)70404070//100100P(AB)P(AB)P(B)P(B)P(AB)设Ａ,Ｂ为随机试验E的两个随机事件,且Ｐ(Ｂ)＞０，则称为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率．条件概率的定义P(AB)P(A|B)P(B)0()1PAB()1,PSB11iiiiPABPAB1）非负性2）规范性3）可列可加性A1，A2，…,An…两两互不相容时，()0PB条件概率也是概率,所以满足概率的三条公理，即：1212121.()()()()PAABPABPABPAAB2.()1()PABPAB3.()()()()PACBPACBPABPACB同理，条件概率也具有以下概率的性质：条件概率的计算方法（1）由定义计算P(AB)P(A|B)P(B)P(A|B)（2）在事件Ｂ发生的条件下将样本空间S缩减为事件B所包含的样本点的集合SB，然后在缩减的样本空间SB中求事件A发生的概率,从而得P(A|B)概率P(A|B)与P(AB)的区别与联系联系：区别：（1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。（2）样本空间不同，在P(A|B)中，样本空间是缩减样本空间SB；在P（AB）中，样本空间仍为S。因而有()()PABPAB事件A，B都发生了例1.100件产品中有5件次品，现从中接连任取两件而不放回，求在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率.设事件A：“第一次取得正品”，事件B：“第二次取得次品”，按题意，所求概率是解：P(B|A)原来样本空间是100件产品，在第一次取得正品后，样本空间缩减为99件产品，其中94件正品5件次品.所以所求条件概率用缩减样本空间计算P(B|A)599设A：该建筑物使用寿命超过50年。B：该建筑物使用寿命超过60年。解：由题意，P(A)0.8,P(B)0.6求P(B|A).例2.某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0.8，超过60年的概率为0.6,现该建筑物已经历了50年，问它的使用寿命超过60年的概率是多少？这里只给出了概率值，而未给出样本空间，所以应该按定义求条件概率P(B|A).BA,P(AB)P(BA)P(A)ABBP(AB)P(B)0.60.60.80.75例3.袋中装有2n-1个白球，2n个黑球，现从中一次取出n个球，发现都是同一种颜色，试求这种颜色是黑色的概率。设B:所取球都是黑色，A:所取球是同一种颜色。P(A)P(AB)P(AB)PBAP(A)解：n2nCn2n1Cn4n1Cn4n1Cn2nCn2nnn2n12nCCC232.乘法定理()()()PABPAPBA()()()PABPABPB()()()PABPBAPA设Ａ,Ｂ为随机试验E的两个事件,()()()PABPBPAB若Ｐ(A)＞０，则若Ｐ(B)＞０，则12121312121()()()()()nnnPAAAPAPAAPAAAPAAAA()()()(|)PABCPAPBAPCAB推广1.若Ｐ(AB)＞０，则2.设A1,A2,…,An为随机试验E的n个事件,若Ｐ(A1A2…An-1)＞０，则例4.一盒子中装有5只产品，其中3只一等品，2只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，求第一次取到一等品，第二次取到二等品的概率。设A表示事件“第一次取到一等品”，B表示事件“第二次取到二等品”。由乘法定理，所求概率为2P(BA)4P(AB)P(A)P(BA)解：3P(A),5320.354设表示事件“第i次取到白球’’（i=1,2,3)iA则表示第三次取到红球，3A解：例5.一口袋中装有a只白球，b只红球，每次随机取出一只，然后把原球放回，并加进与抽出的球同色的球c只。连续摸球三次，试求第一、第二次取到白球，第三次取到红球的概率。所求概率为123P(AAA)1()PA,acabc312()PAAA,aab21()PAA2babc所求概率为123P(AAA)2aacbababcabc121312P(A)P(AA)P(AAA)例6.某城市下雨的日子占一半，天气预报的准确度为90％，某人每天上班都为下雨烦恼，于是预报下雨他就拿伞，即使预报没有雨，他也有一半时间拿伞，求（1）他没有拿伞而遇到雨的概率。（2）他拿伞而没有下雨的概率。设A：天下雨，B:天气预报正确，C：此人拿伞。解：（1）P(A)P(BA)P(CAB)12120.0250.1P(ABC)他没有拿伞而遇到雨,说明天气预报错了，所以这是求事件的概率ABCP(AC)P(ABC)P(ABC)P(A)P(BA)P(CAB)P(A)P(BA)P(CAB)1110.90.110.275222P(ABCABC)（2）他拿伞而没有下雨的概率，即：引例：设某产品一盒共10只，其中有3只次品，从中取二次，每次取一只，作不放回抽取，求第二次取到的是次品的概率。解：第二次取到的产品是否次品显然受到第一次取到的产品的影响，所以，设A：第一次取到的是正品，B：第二次取到的是次品二、全概率公式与贝叶斯公式设A：第一次取到次品，B:第二次取到次品，则BBSB(AA)BABAP(B)P(BABA)且,BAA()()BABA,BAAP(BA)P(BA)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)3273109109310全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式、乘法公式和条件概率的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0条件概率P(A|B)=P(AB)/P(B)P(B)0样本空间的一个划分设S为样本空间，为n个随机事件，若满足12nB,B,Bnii1(2)BS12nB,B,B则称为样本空间S的一个划分。12n(1)B,B,BijBB(ij)两两互不相容，即：SB1B2Bn…...全概率公式1122nnP(BB)P(BB)P(BB)P(A)=）P(A）P(A）P(AiiP(BB)ni=1=）P(A设S是试验E的样本空间，是S的一个划分，(iPBin且)0(=1,2,),12nB,B,B则对任一事件A，有全概率公式的证明nii1AB而由12nB,B,,B12nAB,AB,,AB因为AS,nii1SB所以AASnii1A(B)两两互不相容，且iiABB;i1,2,,n得也两两互不相容由概率的有限可加性，得nii1PBPABiiiPABPBPAB1()niiiPAPBPAB从而得1122()()()=）P(A）P(A）P(AnnPBBPBBPBB再由和乘法定理，得01,2,,iPBin例7.甲箱中有5个正品3个次品，乙箱中有4个正品3个次品，从甲箱中任取3个产品放入乙箱，然后从乙箱中任取1个产品，求这个产品是正品的概率。解设A：从乙箱中所取产品是正品显然，A的概率与从甲箱中所取的3个产品有关，如果设Bi：“从甲箱中所取3个产品中有i个正品”，i=0，1，2，3，则B0，B1，B2，B3构成样本空间的一个划分。33038CP(B),C1253138CCP(B),C2153238CCP(B),C35338CP(B)C04P(A|B),1015P(A|B),1026P(A|B),1037P(A|B),103iii0P(A)PBPAB3290.5875560例8.某间房门上锁的概率为0.5，这个门上的钥匙是架子上12把钥匙中的一把，有人在架子上任意取两把钥匙去开门，求他能打开门的概率。设A：此人能打开门，B：门上锁。1P(B),21P(B)2P(AB)P(AB)解：显然和构成样本空间的一个划分，且BB11111212CCC1P(A)P(B)P(AB)P(B)P(AB)11111212CC11712C212例9.10张考签中有4张难签，今有甲乙丙三个依次参加抽签，从中任取一张，抽后不放回，试求（1）三个人都抽到难签的概率。（2）三人各自抽到难签的概率。设A,B,C分别表示甲、乙、丙各自抽到难签。(1)P(ABC)P(A)P(BA)P(CAB)4321109830解：对于事件B而言，样本空间的划分是和AA4P(A)0.410（2）P(B)P(A)P(BA)P(A)P(BA)436420.410910954324636436541098109810981098P(C)P(AB)P(CAB)P(AB)P(CAB)P(AB)P(CAB)P(AB)P(CAB)20.45对于事件C而言，样本空间的划分是和AB、AB、ABAB例10.设某仓库中有同样规格的产品1000件，其中甲厂生产600件，乙厂生产250件，丙厂生产150件。已知这三个厂生产的产品质量不同，它们的次品率依次为1%，4%，2%，现从仓库中任取一件产品，求取得的产品是次品的概率设A：表示事件“取到的产品是次品”B1：表示事件“取到的产品由甲厂生产”，B2：表示事件“取到的产品由乙厂生产”，B3：表示事件“取到的产品由丙厂生产”显然，B1,B2,B3是样本空间S的一个划分。解：112233P(A)P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)0.60.010.250.040.150.020.0191P(AB)0.01,1P(B)6000.6,10002500.25,10002P(B)3150P(B)0.1510003P(AB)0.02.2P(AB)0.04,下面我们对全概率公式的使用方法进行小结我们把事件A看作某一随机过程的一种可能结果，12nB,B,,B把看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，iPB即已知iPAB即已知而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．全概率公式的使用PA即求再回到例10，现有一人从此仓库买了一件这种产品，结果是次品，此人要求赔偿，但生产厂的标签已脱落，问该如何赔偿，例如，甲厂应承担多少经济责任？这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小。接下来我们介绍贝叶斯公式来解决这类问题贝叶斯公式设S是试验E的样本空间，是S的一个划分，，则对任一事件A，有12nB,B,BiP(B且）0(i=1,2,n)kkiiP(B)P(AB)k1,2,n.P(BB)ni=1=）P(AkP(AB)P(A)kP(BA)=现回答例10的问题：甲厂应承担多少经济责任？1P(BA)11iiP(B)P(AB)P(BB)3i=1）P(A0.60.010.0190.316所以甲厂应承担约31.6%的经济责任.称P(Bi|A)，i=1,2,…,n为后验概率，它是得到了信息—A发生,再对导致A发生的原因Bi发生的可能性大小重新加以修正Bi是事件A的原因,称P(Bi)i=1,2,…,n为先验概率，它是在没有进一步信息（不知