概率论与数理统计作业及解答

概率论与数理统计第1页共31页概率论与数理统计作业及解答第一次作业★1.甲乙丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹设事件ABC分别表示甲乙丙击中目标则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示.事件E{事件,,ABC最多有一个发生},则E的表示为;EABCABCABCABC或;ABACBC或;ABACBC或;ABACBC或().ABCABCABCABC(和AB即并AB,当,AB互斥即AB时AB常记为AB)2.设M件产品中含m件次品计算从中任取两件至少有一件次品的概率.221MmMCC或1122(21)(1)mMmmMCCCmMmMMC★3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只计算以下事件的概率.A{8只鞋子均不成双},B{恰有2只鞋子成双},C{恰有4只鞋子成双}.61682616()32()0.2238,143CCPAC1414872616()80()0.5594,143CCCPBC2212862616()30()0.2098.143CCCPCC★4.设某批产品共50件其中有5件次品现从中任取3件求(1)其中无次品的概率(2)其中恰有一件次品的概率(1)34535014190.724.1960CC(2)21455350990.2526.392CCC5.从1～9九个数字中任取3个排成一个三位数求(1)所得三位数为偶数的概率(2)所得三位数为奇数的概率(1){P三位数为偶数}{P尾数为偶数4},9(2){P三位数为奇数}{P尾数为奇数5},9或{P三位数为奇数}1{P三位数为偶数45}1.996.某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码求(1)最小号码为5的概率(2)最大号码为5的概率记事件A{最小号码为5},B{最大号码为5}.(1)253101();12CPAC(2)243101().20CPBC7.袋中有红、黄、白色球各一个每次从袋中任取一球记下颜色后放回共取球三次求下列事件的概率:A={全红}B={颜色全同}C={颜色全不同}D={颜色不全同}E={无黄色球}F={无红色且无黄色球}G={全红或全黄}.311(),327PA1()3(),9PBPA33333!2(),339APC8()1(),9PDPB概率论与数理统计第2页共31页3328(),327PE311(),327PF2()2().27PGPA☆.某班n个男生m个女生(mn1)随机排成一列计算任意两女生均不相邻的概率.☆.在[01]线段上任取两点将线段截成三段计算三段可组成三角形的概率.14第二次作业1.设AB为随机事件P(A)0.92P(B)0.93(|)0.85PBA求(1)(|)PAB(2)()PAB∪(1)()()0.85(|),()0.850.080.068,()10.92PABPABPBAPABPA()()()()()()PABPAPABPAPBPAB0.920.930.0680.058,()0.058(|)0.83.()10.93PABPABPB(2)()()()()PABPAPBPAB0.920.930.8620.988.2.投两颗骰子已知两颗骰子点数之和为7求其中有一颗为1点的概率.记事件A{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},B{(1,6),(6,1)}.21(|).63PBA★.在1—2000中任取一整数求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率记事件A{能被5除尽},B{能被7除尽}.4001(),20005PA取整2000285,728557(),2000400PB200057,5757(),2000PAB()()1()1()()()PABPABPABPAPBPAB1575710.686.540020003.由长期统计资料得知某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15刮风(用B表示)的概率为7/15既刮风又下雨的概率为1/10求P(A|B)、P(B|A)、P(AB)()1/103(|),()7/1514PABPABPB()1/103(|),()4/158PABPBAPA()()()()PABPAPBPAB47119.151510304设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2若第一次落下未摔破第二次落下时摔破的概率是7/10若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是9/10试求落下三次而未摔破的概率．记事件iA={第i次落下时摔破}1,2,3.i1231213121793()()(|)(|)111.21010200PAAAPAPAAPAAA5设在n张彩票中有一张奖券有3个人参加抽奖分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率论与数理统计第3页共31页概率．记事件iA={第i个人摸到奖券}1,2,3.i由古典概率直接得1231()()().PAPAPAn或212121111()()()(|),1nPAPAAPAPAAnnn31231213121211()()()(|)(|).12nnPAPAAAPAPAAPAAAnnnn或第一个人中奖概率为11(),PAn前两人中奖概率为12122()()(),PAAPAPAn解得21(),PAn前三人中奖概率为1231233()()()(),PAAAPAPAPAn解得31().PAn6甲、乙两人射击甲击中的概率为08乙击中的概率为07两人同时射击假定中靶与否是独立的求(1)两人都中靶的概率(2)甲中乙不中的概率(3)甲不中乙中的概率记事件A={甲中靶}B={乙中靶}.(1)()()()0.70.70.56,PABPAPB(2)()()()0.80.560.24,PABPAPAB(3)()()()0.70.560.14.PABPBPAB★7袋中有a个红球b个黑球有放回从袋中摸球计算以下事件的概率(1)A{在n次摸球中有k次摸到红球}(2)B{第k次首次摸到红球}(3)C{第r次摸到红球时恰好摸了k次球}(1)();()knkknkkknnnababPACCababab(2)11();()kkkbaabPBababab(3)1111().()rkrrkrrrkkkababPCCCababab8一射手对一目标独立地射击4次已知他至少命中一次的概率为80.81求该射手射击一次命中目标的概率设射击一次命中目标的概率为,1.pqp4801121,,1.818133qqpq9设某种高射炮命中目标的概率为0.6问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标(10.6)10.99,n0.40.01,n由50.40.01024,60.40.01,得6.n☆.证明一般加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nnnniiiijijkiiiijijkPAPAPAAPAAAPA概率论与数理统计第4页共31页证明只需证分块111,,kknkiiiiiiAAAAAA只计算1次概率．(1,,nii是1,,n的一个排列1,2,,.kn)分块概率重数为1,,kiiAA中任取1个任取2个1(1)k任取k个即121(1)1kkkkkCCC121(1)(11)0.kkkkkkCCC将,互换可得对偶加法(容斥)公式1111()()()()(1)().nnnniiiijijkiiiijijkPAPAPAAPAAAPA☆.证明若AB独立AC独立则AB∪C独立的充要条件是ABC独立.证明(())()()()()PABCPABACPABPACPABC()()()()()PAPBPAPCPABC充分性:(())()()()()(),PABCPAPBPAPCPABC代入()()()PABCPAPBC()(()()())PAPBPCPBC()(),PAPBC即,ABC独立.必要性:(())()()PABCPAPBC()(()()())PAPBPCPBC()()()()()()PAPBPAPCPAPBC()()()()()PAPBPAPCPABC()()(),PABCPAPBC即,ABC独立.☆.证明：若三个事件A、B、C独立，则A∪B、AB及A－B都与C独立．证明因为[()]()()()()()()()()()()()[()()()()]()()()PABCPACBCPACPBCPABCPAPCPBPCPAPBPCPAPBPAPBPCPABPC[()]()()()()[()()]()()()PABCPABCPAPBPCPAPBPCPABPC[()]()()()()()()()()[()()]()()()PABCPACBPACPABCPAPCPAPBPCPAPABPCPABPC所以A∪B、AB及A－B都与C独立.第三次作业1在做一道有4个答案的选择题时如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测设他知道问题的正确答案的概率为p分别就p0.6和p0.3两种情形求下列事件概率(1)学生答对该选择题(2)已知学生答对了选择题求学生确实知道正确答案的概率记事件A={知道问题正确答案}B={答对选择题}.(1)由全概率公式得()()(|)()(|)PBPAPBAPAPBA113,444ppp当0.6p时13130.67()0.7,444410pPB当0.3p时13130.319()0.475.444440pPB概率论与数理统计第5页共31页(2)由贝叶斯公式得()4(|),13()1344PABppPABpPBp当0.6p时440.66(|),13130.67pPABp当0.3p时440.312(|).13130.319pPABp2某单位同时装有两种报警系统A与B当报警系统A单独使用时其有效的概率为0.70当报警系统B单独使用时其有效的概率为0.80.在报警系统A有效的条件下报警系统B有效的概率为0.84.计算以下概率(1)两种报警系统都有效的概率(2)在报警系统B有效的条件下报警系统A有效的概率(3)两种报警系统都失灵的概率.()0.7,()0.8,(|)0.84.PAPBPBA(1)()()(|)0.70.840.588,PABPAPBA(2)()0.588(|)0.735,()0.8PABPABPB(3)()()1()1()()()PABPABPABPAPBPAB10.70.80.5880.088.☆.为防止意外在矿内同时设有两种报警系统A与B每种系统单独使用时其有效的概率系统A为092系统B为0.93在A失灵的条件下B有效的概率为0.85求:(1)发生意外时两个报警系统至少有一个有效的概率(2)B失灵的条件下A有效的概率3设有甲、乙两袋甲袋中有n只白球m只红球乙袋中有N只白球M只红球从甲袋中任取一球放入乙袋在从乙袋中任取一球问取到白球的概率是多少记事件A={