工程电磁场 第2章

12静电场的基本原理本章提示：库仑定律，电场强度定义静电场源的点、线、面、体电荷模型电位，静电场的环路定理，高斯通量定理电偶极子模型，极化电荷，电介质对电场的影响电位移矢量定义；静电场的基本方程电介质分界面条件、用电位表示的静电场边值问题，2第二章静电场的基本原理2.1库仑定律与电场强度两个点电荷之间的作用力用下式表示在真空中，两个静止点电荷q1及q2之间的相互作用力的大小和q1与q2的乘积成正比，和它们之间距离R的平方成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。3ε0是真空中的介电常数电荷量的单位库仑，C距离的单位米，m力的单位牛，Nε0的单位是法/米，F/m库仑定律是静电场的基础，也是电磁场的基础点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。42.电场强度电荷在其周围产生电场，产生电场的电荷称为电场的源。相对于观察者静止的电荷产生的电场，称为静电场。真空中放置一个点电荷q，在其附近放置一个试验电荷q1。在静电场中的某一点（x,y,z），q1受到的作用力F与q1的电荷量成正比，而作用力F与q1电荷量的比值与试验电荷无关，我们定义表征静电场的基本场矢量电场强度为：单位伏/米，V/m点电荷q产生的电场强度R是从点电荷所在的源点(x’,y’,z’)到场点(x,y,z)的距离；eR为源点到场点的单位矢量5点电荷的电场强度63.分布电荷的电场强度电场力的叠加原理NiiFF1两个点电荷共同产生的电场强度N个点电荷共同产生的电场强度7线密度面密度体密度电荷元电荷元产生的电场强度与点电荷相同，是一个无穷小的量，积分可得整个源区所有电荷产生的电场强度8线电荷、面电荷、体电荷产生的电场强度例2-1-1真空中长度为2l的直线段，均匀带电，电荷线密度为τ。求线段外任一点P的电场强度。解根据对称性分析，采用柱坐标系分析比较方便。坐标的源点位于线段的中心，z轴与线段重合。场点P的坐标为（r,α,z），取电荷元τdz’，源点坐标为（0,α’,z’）9电荷源在p点产生的电场强度的各分量为场点坐标（r,α,z）是不变量，源点坐标（0,α’,z’）中z’是变量，统一用θ表示10总的电场强度若为无限长直导线11整段线电荷在P点产生的电场强度212100coscos+sinsin44rzrrEee若线段为无穷长直线，则10,2。代入上式，0011=42rrrrEee当线电荷长度有限，场点落在线电荷延长线上时，0r，21sinsin012电场强度无法用前面的公式计算。在线电荷延长线上，讨论zl的情况20d4lzlEzRRzzzzR所以ddzR代入上述积分公式13200d44zlzzlERRzlzlR代入积分上下限，得2222000112()44()2()zllEzlzlzlzl当zl，可根据对称性写出2202()zlEzl14短线电荷产生的电场强度见图15例2-1-2如图所示，真空中圆形线电荷半径为a，均匀带电，电荷线密度为τ，求在其轴线上任一点的电场强度。解根据电荷分布的对称性，采用圆柱坐标系。设坐标原点在圆形线电荷的圆心，z轴与线电荷圆心轴线重合。场点P的坐标为(0,α,z)，取一个电荷元τadα‘，源点坐标为（a，α‘，0)。再取一个电荷元τadα‘,源点坐标为(a，α‘+π，0)。这样，两对称电荷元在P点产生的电场强度沿er方向两个分量符号相反，相互抵消;沿eα方向的电场强度为零;沿ez方向的两个分量符号相同。因此，由这两个对称电荷元产生的电场强度为计算P点电场强度时，场点坐标(0,α,z)不变，源点坐标（a，α‘，0)中只有α‘是变量。1617电场强度趋近无穷大。182.2电位与静电场的环路定理1.电位场点的坐标是(x,y,z)，用距离矢量r表示;源点的坐标是(x`,y`,z`)，用距离矢量r`表示；R是以上两距离矢量之差，也就是从源点到场点的距离矢量，且可见，R与(x,y,z)和(x`,y`,z`)都有关系。当源点不变，场点变化时，的梯度表示为。当场点不变，源点变化时，的梯度表示为19电场强度计算公式梯度是对场点进行的，ρ是电荷密度，是源点的函数，与场点无关式中，体积分是对源点进行的，源点变化；求梯度是对场点进行的，场点变化，故两种运算相互独立，可以交换次序由上式可知，电场强度可表示为某个标量函数的负梯度。我们把这个标量函数定义为电位，并用来表示，则20体电荷面电荷线电荷N个点电荷电位的表示式中有常数C，说明电位数值不是惟一的。但由电位求负梯度得到的电场强度却是惟一的。电位的惟一性问题，可以由选择电位参考点来解决。电位的参考点就是强迫电位为零的点。在电荷分布于有限区域的情况下，选择无穷远处为电位参考点，计算比较方便。这时，前面电位计算式中的常数C为零。21单个点电荷电位云图。222.电位与电场强度的关系由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分的运算由电场强度计算电位，是相反的运算，也就是求积分的运算。考虑电场强度的线积分Q点电位已知Q点为参考电位，且=0，则这就是说，P点的电位等于电场强度从P点到参考点的线积分。电场强度是单位电荷受到的电场力。所以，P点的电位表示将单位电荷从P点移动到参考点，电场力所做的功。电位和电压的单位是伏，V。233.静电场环路定理对电场强度求旋度，可得即电场强度的旋度为零，这是静电场环路定理的微分形式根据斯托克斯定理，有电场强度的闭合线积分为零，是静电场环路定理的积分形式24对闭合曲线acbda，应用环路定理可见，ab两点之间的电位差与积分路径无关，这是静电场环路定理的具体体现。旋度处处为零的场称为无旋场。静电场是无旋场。254等电位面与电场强度线等电位面和电场强度线是对电场的形象表示。等电位面就是由电位相同的点组成的曲面，其方程为电场强度线是一族有方向的线。电场强度线上每一点的切线方向就是该点的电场强度方向。设dl为P点电场强度线的有向线段元，则电场强度可表示为E=kdl。在直角坐标系中，有电场强度线方程点电荷电场26例2-2-1如图所示，在位于直角坐标系坐标原点的点电荷q所产生的静电场中，求P1(0,0,1)到P2(0,2,0)的电位差。解（1）由电位公式直接计算，P1和P2点的电位分别为（2）由电场强度积分计算，根据点电荷的电场强度公式272.3高斯通量定理1.高斯通量定理的微分形式在体电荷情况下，讨论电场强度的散度:上式的散度运算是对场点进行，体积分运算对源点进行，两种独立运算可以交换次序，即由于ρ是电荷密度，是源点的函数，与场点无关，所以28式中，体积分的被积函数在R=0(即源点与场点重合这一点)之外的区域上全为零。因此，积分区域可缩小到场点附近的小区域。假定小区域是以场点为球心，以R为半径的球体，因为R可以任意小，所以可认为小体积中的ρ为常数，并将其移到积分号之前。根据散度定理，有29高斯通量定理的微分形式即静电场中任一点上电场强度的散度等于该点的体电荷密度与真空的介电常数之比302.高斯通量定理的积分形式由高斯通量定理的微分形式，利用散度定理可得式中，S为任意闭合面，q为该闭合面内电荷总量。这就是高斯通量定理的积分形式。31例2-3-1真空中半径为a的均匀带电球，若其电荷体密度为ρ，求球体内外的电场强度和电位。解如图所示，根据电荷分布的对称性，作半径为r的球面S，则在S上电场强度量值处处相等，方向都沿半径方向。根据高斯通量定理当r≤a时32当ra时设无穷远处为电位参考点，则当r≥a时当ra时33例2-3-2如图所示，真空中，半径为A的大圆球内有一个半径为a的小圆球，两圆球面之间部分充满体密度为ρ的电荷，小圆球内电荷密度为零(空洞)。求小圆球(空洞)内任一点的电场强度。解根据叠加原理，空洞内P点的电场强度，可以看作是由充满电荷、电荷体密度为ρ的大球和充满电荷、电荷体密度为-ρ的小球在P共同产生的电场强度。因为大球内电荷产生的电场强度为34小球内电荷产生的电场强度为352.4电偶极子1.电偶极子所谓电偶极子就是两个相距很近的等量异号电荷组成的整体。设电偶极子两电荷的电荷量分别为q和-q，从负电荷到正电荷的距离矢量为d，则可以用一个矢量来表示电偶极子。这个矢量叫做电偶极矩，记为p，且2.电偶极子的电位电偶极子产生的电场，就是电偶极子的两个点电荷共同产生的电场。在如图所示的直角坐标和球坐标系情况下，设电偶极矩的方向与二轴一致，且电偶极子位于坐标原点，则电偶极子的电位为36R远大于d电偶极子产生的电场与单个点电荷产生的电场的空间分布规律有明显不同。点电荷的电位与R成反比，而电偶极子的电位与R2成反比。37383.电偶极子的电场强度在球坐标系中，电偶极子的电场强度39402.5导体和电介质1.静电场中的导体在静电平衡条件下，导体内部电位的梯度为零，导体内部电位各处相等，即导体是一个等电位体，导体表面是一个等位面。导体外表面电场强度只有法向分量，其切向分量为零，即导体外表面上电场强度的方向与外表面垂直。例2-5-1无限长同轴电缆截面如图所示，内导体半径为R，单位长度所带电荷为τ外导体内半径R2，外半径R3，单位长度所带电荷为-τ。假定内外导体之间为真空。求各区域的电场强度。412.静电场中的电介质与导体不同，电介质中的电荷不能自由运动。这些电荷束缚在分子或原子范围之内，只能作微小的移动，因此叫做束缚电荷。3.电介质内电偶极子产生的电场电介质极化后，其内部存在大量按一定规律分布的电偶极子。将电偶极子偶极矩的密度定义为极化强度P,用来表示电介质极化的程度，即电偶极子元PdV所产生的电位为42根据矢量恒等式令根据散度定理，第一项体积分可化为闭合面积分，因此43因此，电介质内电偶极子产生的电场，可看成是极化电荷产生的电场，且电位和电场强度分别表示为442.6电位移矢量1.考虑极化电荷的高斯通量定理极化电荷与自由电荷一样产生电场强度。因此，在有电介质存在的情况下，高斯通量定理应表示为在闭合曲面S内的极化电荷为45第一项体积分应用散度定理，并把真空当作一种特殊的电介质，即在真空中，P=0，得高斯通量定理可写成462.电位移矢量在有电介质存在的情况下，高斯诵量定理可以写成定义一个新的场矢量D，叫做电位移矢量，且高斯通量定理可写成47高斯通量定理微分形式483.静电场的辅助方程电位移矢量D与电场强度E有关。P是极化强度，其值在真空中为零，在电介质中与电场强度有关。这里的电场强度是电介质中实际电场强度，是由自由电荷和束缚电荷共同产生的总的电场强度。式中，x是电介质的极化率令εr=1+x称之为电介质的相对介电常数。ε=ε0εr称之为电介质的介电常数这就是线性、各向同性电介质中静电场的辅助方程。它建立了电介质中两个基本场矢量D和E之间的简单关系。49对于一般的电介质，辅助方程还应该写成D线从正自由电荷发出，终止于负自由电荷。E线从正电荷(包括自由电荷和极化电荷)发出，终止于负电荷(包括自由电荷和极化电荷)。P线从负极化电荷发出，终止于正极化电荷。502.7静电场的基本方程与分界面条件1静电场基本方程的微分形式辅助方程2.静电场基本方程的积分形式对应于微分形式，前面也已导出了静电场基本方程的积分形式513.电介质分界面条件在不同电介质的分界面上，存在极化面电荷(束缚面电荷)，也可能存在自由面电荷。这造成分界面两侧场矢量不连续。这种场矢量的不连续性虽然不会影响积分形式基本方程的应用，却使微分形式的基本方程在不同电介质分界面处的应用遇到困难。因此必须研究场矢量的分界面条件。电场强度E应满足的分界面条件。围绕分界面上一点P做一个小矩形闭合曲线，abcda。en是分界面法线方向的单位矢量，由第一种电介质指向第二种电介质;et是一个切线方向的单位矢量;eτ是与et垂直的另一个切线方向的单位矢量，代表其方向垂直于纸面向里。5253为P点沿分界面切线方向的一个矢量eτ可以取为任意的切线方向这就是电场强度应满足的分界面条件