大学高数复习内容

复习主要内容1、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数.2、分析复合函数的构成3、无穷小量0)(limxfXx如果x→X时，函数f(x)的极限为零，即,则称f(x)为x→X时的无穷小量..)(,)(lim无穷大量时的是则称若XxxfxfXx4、无穷大量5、无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的和仍为无穷小量.(3)有界量与无穷小量之积为无穷小量.(2)有限个无穷小量的积仍为无穷小量.6、无穷小量的比较设α,β是同一极限过程的无穷小量，且α≠0(1)如果0lim,则称β是α的高阶无穷小,(2)如果clim(c≠0),则称β与α是同阶的无穷小例(P17)1、3x→0时，sin7x2与x2是阶的无穷小量.同)0,(1sinlim)1(uXxuuXx7、两个重要极限)0,()1(lim)2(1uXxeuuXxxxx87sinlim0例xxx71limxx7sinlim0xx71lim8、连续的定义如果函数当时的极限存在,且等于它在点处的函数值,即那么就称函数在点x0连续.)()(lim00xfxfxx（1）函数)(xf在点0x处有定义；（2）极限)(lim0xfxx存在，即)(lim)(lim00xfxfxxxx（3）)()(lim00xfxfxx.例(P26)287x7877e7x)7(9、间断点及其分类如果点x0不是函数f(x)的连续点，则称点x0为的间断点.(1)可去间断点(一)第一类间断点)(lim)(lim-00xfxfxxxx、都存在的间断点称为第一类间断点.)(lim)(lim-00xfxfxxxx(2)跳跃间断点)(lim)(lim00xfxfxxxx(二)第二类间断点称为第二类间断点。常见的有无穷间断点和振荡间断点.不存在的间断点不存在或)(lim)(lim-00xfxfxxxx)(lim0xfxx.)()(lim)(0000xxxfxfxfxxxxfxxfxyyxxxx)()(limlim000001、导数的定义例(P36)1、(P55)12、导数公式P42-433、导数的意义切线方程为).)((000xxxfyy处的切线的斜率在点表示曲线))(,()()(000xfxxfyxf(1)几何意义(2)物理意义s=s(t)在点t0的导数是作变速直线运动的物体在时刻t0的瞬时速度，即).()(00tstv例求y=sinx在点处的切线方程.)21,6(所求的切线方程为).21(2321xy例从水平场地正在垂直上升的一个热气球被距离起飞点500米远处的测距器所跟踪.在测距器的仰角为π/4的瞬间，仰角以0.14弧度/分的速率增长.在该瞬间气球的上升有多快？已知解设气球高度为h，仰角为θ，14.0dtd求4dtdh500tanh2sec50014.0)4(sec24dtdh1404、导数的应用问题P49-50两边对t求导dtd5001dtdh在该瞬间气球以速率140米/分上升5、导数的计算).0(,)3(;))(2(;))(1(2vvvuvuvuvuvuvuvuvu),(),()4(xuufy设'x'u'xuyydxdududydxdy或例(P43)2(4)(5)6、高阶导数)(,)(yyyy,910xyx例.,yeyx求7、隐函数的求导.,02yexexyyxy求隐函数例直接对方程两边对x求导.求导过程会用到复合函数求导法则.0)()()()(2xyxxxyxexexy解yxy)(22yey0)(1yxeyxyxyyyey220)(1yxeyxyeyeyexyxyxy1)2(2yxyyxeyexyey2218、对数求导法例(P49)2xxxyxlnlnln解xxxxyy1ln21)12ln(xxxxyx9、微分xx'fxdfxydyxxxx)()(0000或(1)点微分(2)函数微分dxxfxdfdxydy)()(或10、微分的应用(P51)例2(P54)1、2.)(0xxf00)1(xxxxdyy.)()()()2(000xxfxfxxf例(P56)1202.0)(102.0102.11xx01.11、罗尔定理如果函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则在(a,b)内至少有一点ξ,使得.0)(f如果函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少有一点ξ,使得2、拉格朗日中值定理.)()()(abafbff(P59)1、(P60)3、(P79)1(1)—(5)3、洛比达法则;00)1(型、存在；、0)()()2(xgxf，或)()()(lim)3(Axgxfax).()()(lim)()(lim或则Axgxfxgxfaxax型.求商的极限转换0101.0000通分型0,10.0100或型、、0010ln01ln0ln0lnln0ln1ln00lnln0010eeeeeeaNNabeb,sin~xx0x时，常见的等价无穷小量：,~arcsinxx,~tanxx,~arctanxx,~1xex,~)1ln(xx,21~cos12xx)(~1)1(为非零常数xx例(P17)3(4)、(P64)1(1)(3)、2(2)(3)4、函数极值及最值(1)极值:(第一充分条件)设f(x)在点x0的某邻域内可导,(a)当xx0时,有f′(x)0,且当xx0时,有f′(x)0，则f(x)在x0处取得极大值.(b)当xx0时,有f′(x)0,且当xx0时,有f′(x)0，则f(x)在x0处取得极小值.(2)闭区间[a,b]上的最值:求极值的步骤:(a)写出函数f(x)的定义域(b)求f'(x)出驻点(f'(x)=0的点)及不可导点；(c)列表,驻点及不可导点分割定义域，根据第一充分条件判断.(i)求(a,b)内的驻点和不可导点;(ii)求区间端点、驻点及不可导点处的函数值；比较大小,其中最大的和最小的就是所要求的最大值和最小值。(P75)例4，(P76)2、3，(P81)5(3)实际应用题的最值:建立目标函数;求驻点;下结论.(若目标函数的最值不能在区间端点取得,且只有唯一驻点，则该驻点处的函数值就是所求的最值.)rhrS222hrV2rrSh222)0(rrrSr2222223rSr06212）（rSV6Sr(P76)2解桶的底面半径为r，高为h，体积为V令得唯一驻点当底面直径为,高为时，容积最大.32S32S1、原函数)()(xfxF，则称)(xF为)(xf的一个原函数.CxFdxxf)()(),(d)(xfxxf,)(])([dxxfdxxfd或,)(d)(Cxfxxf.)()(Cxfxdf或不定积分微分与积分的关系(P85)填空题.例(P98)一、二2、不定积分的计算积分公式P85、P91凑微分法,第二类换元法，分部积分法例(P94)填空题dxxg)(dxuuf)(恒等变形凑微分：第二换元法：一般是用于去根号，令tn分部积分法：dttdxtx)(),(.duvuvudv.,,,cos,sin.1dvxudxexkxdxxkxdxxnkxnnn余下的为令不定积分的形如.),ln(arctanarcsin,arctan,ln.2dvxxuxdxxxdxxxdxxnnn余下的为或令的不定积分，形如(P99)三1、定积分的几何意义,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形是由x=a、x=b、y=f(x)及x轴围成的.(3)(P111)若f(x)在[-a,a]上连续且为奇函数，则.0)(aadxxfabbadxxfdxxf)()()2(0)(badxxf(1)当a=b时，2、定积分的性质例(P129)1—53、积分上限函数及其导数,)()(xadttfxΦ)()()(xfdttfdxdxxa例(P109)24、定积分的计算换元法：换元必换限;分部积分法)()()()(aFbFxFdxxfbaba分部积分法bababauvuvvudd(P111)1(P113)课堂练习5、平面图形的面积))()(()()(xgxfxgyxfybxax其中所围成的平面图形面积及曲线，曲线，由直线baxxgxfSd)()(例(P122)11、边际成本、边际收益、边际利润2、成本函数、收益函数，已知总成本函数0)(CqCCpqqRR)(总收益函数;dqdCMC边际成本函数.dqdRMR边际收益函数CqRq)()(L利润函数00d)()(CqMCqCq总成本函数;d)()(0qqMRqR总收益函数00d)()(CqMCMRqLq总利润函数.0为固定成本其中CMC表示产量为Q时,再生产1个单位产品所花费的成本.例(P79)1、2、1(思考题)例(P128)3；(P130)5、63、弹性函数0xxExEy函数y=f(x)在点x0处的弹性反映了当自变量变化1%时，函数y变化的百分数为%.)()(0000xfxxfExEyxx处的弹性为在点0x例(P79)3，2(思考题)