大学高等数学 第三章典型例题及小结

例1.证明方程,15)(5xxxf,0)(0xf有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则)(xf在[0,1]连续,且由零点定理知存在,)1,0(0x使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有在以)(xf10,xx为端点的区间满足罗尔定理条件,之间在10,xx至少存在一点但矛盾,故假设不真!设例2.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:),(x,2cotarcarctanxx经验:欲证Ix时,)(0Cxf只需证在I上,0)(xf,0Ix且.)(00Cxf使例3.证明不等式证:设,)1ln()(ttf中值定理条件,即因为故.)0()1ln(1xxxxx因此应有)0()1(FF例4.设,)(2xxF至少存在一点使证:结论可变形为设则)(,)(xFxf在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使)(F01即证明),1(,)()()1()()1()(eFfFeFfef例5.试证至少存在一点使证:法1用柯西中值定理.xxFxxfln)(,lnsin)(则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此11lncos即分析:内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理证明0)(2cbxaxex至多有三个实根证)()(2cbxaxexfx记直接证明有困难，采用反证法设0)(xf有四个实根4321xxxx)()(2cbxaxexfx记连续、可导对)(xf],[],,[],,[433221xxxxxx在用罗尔定理得4332211xxxx0)()()(321fff使baxexfx2)(连续、可导对)(xf],[],,[3221在用罗尔定理得322110)()(21ff使aexfx2)(连续、可导对)(xf],[21在用罗尔定理得],[],[4121xx0)(xf使0)(xexf但矛盾得证结论成立例2.求解:原式limx型00221limxxx1211x21x11lim21xx思考:如何求nnn12arctanlim(n为正整数)?型例3.求解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例4.求解:(1)n为正整数的情形.原式0xnxexn1limxnxexnn22)1(limxnxen!lim.)0,0(limnexxnx型例8.求.sintanlim20xxxxx解:注意到～原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31型00内容小结洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111取对数令gfy常用函数的麦克劳林公式)(!!212nnxxonxxxe)()!12()1(!5!3sin221253nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx)(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx已知例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过解:令x=1,得)10(!)1(!1!2111nen)10(由于,30ee欲使)1(nR!)1(3n610由计算可知当n=9时上式成立,因此e!91!2111718281.2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为例4计算403cos2lim2xxexx.解)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(127lim4440xxoxx原式11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(例5.证明证:21)1(1xx21x2)121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx)10(3225)1(161821xxxx)0(82112xxxx例2.确定函数解)0(,32)(3xxxf.,0导数不存在时当x单调增区间为(,0)，(0,).的单调区间.x)(xf)(xf(,0)0(0,)不存在单调减区间为0)(3632xx例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求y,121223xxy2)求拐点可疑点坐标令0y得,,03221xx对应3)列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32yxy03200127113)列表判别)0,(),0(32),(32yxy0320012711结论:该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸.点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(32内容小结1.可导函数单调性判别Ixxf,0)(在I上单调递增Ixxf,0)(在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(Ixxf,0)(+–拐点—连续曲线上有切线的凹凸分界点例1.求函数的极值.解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx2)求极值可疑点令,0)(xf得;521x02x另时导数不存在.()fx35235xx215x02x3)列表判别x)(xf)(xf0520033.0)0,(),0(52),(52是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为例2.求函数的极值.解:1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22xxxf2)求驻点令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22xxxf1,0,1321xxx3)判别因,06)0(f故为极小值;又,0)1()1(ff故需用第一充分条件判别.1xy1四、应用举例例3上的最值在求]2,2[)1()(31232xxxf解xxxxf2)1(3132)(322313223134322)1()1(32xxxx0)(xf令21x)1(22xx不存在处易知，在)(1,0xfxx这些点处的函数值为：31313134)2(1)1(4)21(1)0(ffff31max4)21(ff3131min34)2(ff实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;值．或最小函数值即为所求的最点，则该点的若目标函数只有唯一驻)(例5大．所围成的三角形面积最及与直线使曲线在该点处的切线上求一点，曲边一个曲边三角形，在围成及抛物线，由直线808022xyxyxyxy解如图,),,(00yxP设所求切点为为则切线PT),(2000xxxyy,200xy),0,21(0xA),0,8(C)16,8(200xxBTxyoPABC)16)(218(212000xxxSABC)80(0x,0)1616643(41020xxS令解得).(16,31600舍去xx8)316(s.0.2174096)316(为极大值s.274096)316(最大者为所有三角形中面积的故sTxyoPABC01(,0),2Ax),0,8(C)16,8(200xxB内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.2.连续函数的最值1.水平与铅直渐近线若则曲线有水平渐近线.by)(x或若则曲线有垂直渐近线.0xx)(0xx或例1.求曲线的渐近线.解:2)211(limxx2y为水平渐近线;,)211(lim1xx1x为垂直渐近线.212.斜渐近线斜渐近线.bxky)(x或若)(bxk0])([limxbkxxfxx)(bxk0])([limxbkxxfx])([limxbxxfkxxxfkx)(lim])([limxkxfbx)(x或)(x或(P75题13)例2.求曲线的渐近线.解:有铅直渐近线3x及1x又因xxfkx)(lim32lim22xxxx])([limxxfbx3232lim22xxxxx2xy为曲线的斜渐近线.312xy例4.描绘方程的图形.解:1),)1(4)3(2xxy定义域为2)求关键点)3(2xy4044yxy)1(223xyxyy42048yxy)1(241xyy得令0y;3,1x113)1,()1,1()3,1(),3(xyyy20,)1(4)3(2xxy,)1(4)1)(3(2xxxy3)1(2xy3)判别曲线形态00(极大)(极小)4)求渐近线,lim1yx为铅直渐近线无定义1x又因xyxlim,4141k即)41(limxybx]41)1(4)3([lim2xxxx)1(495limxxx45)1(4)3(2xxy5)求特殊点xy049241为斜渐近线4541xy2)1(4)1)(3(xxxy3)1(2xy6）绘图(极大)(极小)斜渐近线1x铅直渐近线4541xy特殊点11302)1(4)3(2xxy2无定义xy113)1,()1,1()3,1(),3(0xy049241,)(二阶可导设xfy,tany,12dxyyd.)1(232yyk,arctany有.12dxyds例2?2上哪一点的曲率最大抛物线cbxaxy解,2baxy,2ay.])2(1[2232baxak显然,,2时当abx.最大k,)44,2(2为抛物线的顶点又aacbab.最大抛物线在顶点处的曲率例3xyoQmg.,.70,/400,)(40002压力飞行员对座椅的到原点时求俯冲千克飞行员体重秒米处速度为点在原俯冲飞行单位为米飞机沿抛物线vOxy解如图,受力分析,FQmg视飞行员在点o作匀速圆周运动,.2mvFO点处抛物线轨道的曲率半径002000xxxy,0.200010xy得曲率为.200010xxk曲率半径为.2000米2000400702F),(4.571)(5600千克牛),(4.