解析几何知识总结及练习

第1课时直线的方程1．倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．3．直线方程的五种形式名称方程适用范围斜截式点斜式两点式截距式一般式例1.已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．①当m＝时，直线的倾斜角为45°．②当m＝时，直线在x轴上的截距为1．③当m＝时，直线在y轴上的截距为－23．④当m＝时，直线与x轴平行．⑤当m＝时，直线过原点．解：(1)－1⑵2或－21⑶31或－2⑷－23⑸41变式训练1.（1）直线3y＋3x＋2=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是（）A．－3，4B．2，－3C．4，－3D．4，3（3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－7，则l2的斜率是（）A．7B．－77C．77D．－7（4）直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．解：（1）D．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－33．（2）C．提示：用斜率计算公式1212yyxx．（3）A．提示：两直线的斜率互为相反数．（4）2y＋3x＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式.典型例题基础过关例2.已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求证：A、B、C三点在同一条直线上.证明方法一∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴kAB=1313=2,kBC=3435=2，∴kAB=kBC，∴A、B、C三点共线.方法二∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴|AB|=25，|BC|=5，|AC|=35，∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三点共线.方法三∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴AB=（2，4），BC=（1，2），∴AB=2BC.又∵AB与BC有公共点B，∴A、B、C三点共线.变式训练2.设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC，∴cacababa3333，化简得a2+ab+b2=a2+ac+c2，∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.例3.已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).试求：23xy的最大值与最小值.解：由23xy的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPA≤k≤kPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），∴34≤k≤8，故23xy的最大值为8，最小值为34.变式训练3.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么xy的最大值为（）A.21B.33C.23D.3答案D例4.已知定点P(6,4)与直线l1:y＝4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M．求使△OQM面积最小的直线l的方程．解：Q点在l1:y＝4x上，可设Q(x0，4x0)，则PQ的方程为：6644400xxxy令y＝0，得：x＝1500xx(x01)，∴M(1500xx，0)∴S△OQM＝21·1500xx·4x0＝10·1020xx＝10·[(x0－1)＋110x＋2]≥40当且仅当x0－1＝110x即x0＝2取等号，∴Q(2，8)PQ的方程为：626484xy，∴x＋y－10＝0变式训练4.直线l过点M(2，1)，且分别交x轴y轴的正半轴于点A、B，O为坐标原点．(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当MBMA取最小值时，求直线l的方程．解：设l：y－1＝k(x－2)(k＜0)则A(2－k1，0)，B(0，1－2k)①由S＝21(1－2k)(2－k1)＝21(4－4k－k1)≥21)1()4(24kk＝4当且仅当－4k＝－k1，即k＝－21时等号成立∴△AOB的面积最小值为4此时l的方程是x＋2y－4＝0②∵|MA|·|MB|＝224411kk＝||)1(22kk＝2)()1(kk≥4当且仅当－k＝－k1即k＝－1时等号成立此时l的方程为x＋y－3＝0（本题也可以先设截距式方程求解）1．直线方程是表述直线上任意一点M的坐标x与y之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又相互联系，解题时具体选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能相同等（变形后除处）．3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，若有不存在的情况时，就小结归纳会出现解题漏洞，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.第2课时直线与直线的位置关系（一）平面内两条直线的位置关系有三种________．1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定直线条件关系l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行重合相交(垂直)2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1．P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为______________．2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax＋By＋C1＝0l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2的距离为．（三）两条直线的交角公式若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则1．直线l1到l2的角θ满足．2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足．（四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．（五）五种常用的直线系方程.①过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).②与直线y＝kx＋b平行的直线系方程为y＝kx＋m(m≠b).③过定点(x0,y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.④与Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程设为Ax＋By＋m＝0(m≠C).⑤与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程设为Bx－Ay＋C1＝0(AB≠0).例1.已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）试判断l1与l2是否平行；（2）l1⊥l2时，求a的值.解（1）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;当a=0时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1:y=-xa2-3,l2:y=xa11-(a+1),典型例题基础过关l1∥l2)1(3112aaa，解得a=-1,综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.方法二由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，由A1C2-A2C1≠0，得a(a2-1)-1×6≠0,∴l1∥l2061)1(021)1(2aaaa6)1(0222aaaaa=-1,故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.（2）方法一当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直，故a=1不成立.当a≠1时，l1:y=-2ax-3,l2:y=xa11-(a+1),由2a·a11=-1a=32.方法二由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=32.变式训练1.若直线l1：ax+4y-20=0，l2：x+ay-b=0，当a、b满足什么条件时，直线l1与l2分别相交？平行？垂直？重合？解：当a=0时，直线l1斜率为0，l2斜率不存在，两直线显然垂直。当a≠0时，分别将两直线均化为斜截式方程为：l1：y=－a4x+5，l2：y=－1ax+ba。（1）当－a4≠－1a，即a≠±2时，两直线相交。（2）当－a4=－1a且5≠ba时，即a=2且b≠10或a=－2且b≠－10时，两直线平行。（3）由于方程(－a4)(－1a)=－1无解，故仅当a=0时，两直线垂直。（4）当－a4=－1a且5=ba时，即a=2且b=10或a=－2且b=－10时，两直线重合.例2.已知直线l经过两条直线l1：x＋2y＝0与l2：3x－4y－10＝0的交点，且与直线l3：5x－2y＋3＝0的夹角为4，求直线l的方程．解：由0104302yxyx解得l1和l2的交点坐标为(2，－1)，因为直线l3的斜率为k3＝25，l与l3的夹角为4，所以直线l的斜率存在.设所求直线l的方程为y＋1＝k(x－2)．则tan4＝331kkkk＝kk25125＝1k＝73或k＝－37，故所求直线l的方程为y＋1＝－37(x－2)或y＋1＝73(x－2)即7x＋3y＋11＝0或3x－7y－13＝0变式训练2.某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为,tan=21.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？解如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300）.直线l的方程为y=(x-200)tan,则y=2200x.设点P的坐标为（x,y），则P（x,2200x）(x＞200).由经过两点的直线的斜率公式kPC=xxxx28003002200,kPB=xxxx26402202200.由直线PC到直线PB的角的公式得tan∠BPC=xxxxxkkkkPCPBPCPB2640·280012160·1=2886401606464016028864xxxxx(x＞200).要使tan∠BPC达到最大，只需x+x640160-288达到最小，由均值不等式x+x640160-288≥2640160-288,当且仅当x=x640160时上式取得等号.故当x=320时，tan∠BPC最大.这时，点P的纵坐标y为y=2200320=60.由此实际问题知0＜∠BPC＜2,所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.例3.直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．解：因为直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线，所以CA、CB所在直线关于y＝2x对称，而A(－4,2)关于直线y＝2x对称点A1必在CB边所在直线上设A1(x1，y1)则2422212)4(21111xyxy得2411yx即A1(4,－2)由A1(4,－2)，B(3,1)求得CB边所在直线的方程为：3x＋y－10＝0又由01032yxxy解得C(2,4)又可求得：kBC＝－3，kAC＝31∴kBC·kAC＝－1，即△ABC是直角三角形变式训练3