金石为开2014年寒假几何讲义叶中豪

高中提高班几何讲义(叶中豪)例题和习题1．在锐角△ABC中，AB＞AC，M、N是BC边上两个不同的点，使得∠BAM＝∠CAN。设△ABC和△AMN的外心分别为O1、O2。求证：O1、O2、A三点共线。（2012年全国联赛）O2O1NABCM2．已知O是△ABC的外心，P是圆OBC上任一点，过O作AB垂线交直线PB于E，过O作AC垂线交直线PC于F。求证：A、E、F三点共线。FEOABCP3．已知AB、CD分别是相离两圆圆O1、圆O2的外公切线和内公切线，直线AC、BD交于P。求证：O1、P、O2三点共线。PCDBAO1O24．如图，P是线段AB上任一点，AC＝AP，且AC⊥AB，BD＝BP，且BD⊥AB，作AE⊥BC于E，BF⊥AD于F。求证：E、P、F三点共线。FEDCABP5．如果四边形有一角是直角，两对角线相等。求证：对边中垂线交点与该直角顶点共线。QPACBD6．设有一直线与两同心圆相截，交点顺次为A、B、C、D，过A、B各引大圆及小圆的平行弦AE、BF，过C作BF的垂线，垂足为G，过D作AE的垂线，垂足为H。求证：EH＝FG。HGCDFOABE7．已知H是△ABC的垂心，M、N分别是BC和AH的中点，直线MN交以AH为直径的圆于点S、T。求证：AT、AS平分∠BAC及其外角。STMNHABC8．如图，设N是△ABC的弧BAC的中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。求证：∠ANI＝2∠IMC。NMIABC9．AC是与BD垂直于E的直径，G是BA延长线上一点，过B作BF∥DG交DA延长线于F，作CH⊥GF于H。求证：B、E、F、H四点共圆。EHFCAOBDG10．已知Rt△ABD∽Rt△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM垂线交AD于F。求证：DE＝EF。EFMCABD11．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。求证：∠MPQ＝2∠NMQ。PQLONKM12．已知四边形ABCD，满足AC⊥BD，自对角线交点O向AB、BC、CD三边作垂线，垂足分别为E、F、G，反向延长OE、OF分别与对边交于P、Q。求证：PF⊥FQ。（10020801.gsp）PQGFEOBDAC13.（帕普斯定理）设A、B、C，D、E、F分别是两条直线上的点，交错联结AE、BD；AF、CD；BF、CE分别交于P、Q、R三点。求证：P、Q、R三点共线。RQPACDFEB14．（阿波罗尼斯定理）已知E、F、G、H分别在四边形ABCD各边上，满足AEEB＝DGGC＝s，AHHD＝BFFC＝t，联结EG、FH相交于P点。求证：HPPF＝s，EPPG＝t。PHGADCBEF15．已知：BE、CD是△ABC的高，直线DE、BC交于T点，过D、E作BC垂线分别交BE、CE于点F、G。求证：F、G、T三点共线。TGFEDABC16.在△ABC中，AD1、BE、CF共点于P，D2、E、F三点共线。求证：11BDDC＝22BDDC。D1PD2ABCFE17.如图，△ABC中，AD、BE、CF共点于P，联结EF交AD于G。求证：AGGP＝ADDP。GDPABCEF18．已知：E、F是平行四边形ABCD的BC、CD边上任意两点，AE、DC延长交于G，AF、BC延长交于H，联结EF、GH并延长交于K。求证：BD∥CK。KHGABCDEF19．在△ABC的边BC的延长线上取一点D，使CD＝AC，△ACD的外接圆与以BC边为直径的圆交于C、G两点，直线BG、AC交于E，直线CG、AB交于F。求证：D、E、F三点共线。EFGDABC20.已知AD是△ABC的高，P是AD上任一点，BP、CP延长交对边于E、F，联结DE、DF。求证：∠ADF＝∠ADE。DOGABCEF21．已知C、D是线段AB的内分点和外分点，且ACCB＝ADDB＝k，以CD为直径作圆，设P是该圆上任意一点。求证：PAPB＝k。DCABP22．梯形ABCD中，AD∥BC，BA、CD延长交于E，过C作AC垂线，过D作BD垂线，两条垂线交于F。求证：EF⊥AD的充要条件是CF＝DF。FEABCD23．BD、CE是△ABC的内角平分线，分别过D、E作AC、AB的垂线相交于点P，过A作AQ⊥AP交直线ED于点Q，直线ED与BC相交于点T。求证：AQ＝QT。QPTEDABC24．已知△ABC中，BE、CF是角平分线，I是内心，自I作IP⊥EF于P，反向延长IP交BC于Q。若IQ＝2IP，求证：∠A＝60°。QPIFEABC