8讲：ch3-2正交多项式)n

第二节正交多项式正交函数系的性质正交多项式的构造正交多项式的基本概念小结正交多项式函数逼近的基本概念确定a1,a2,…am的准则（最小二乘准则）：使n个点（xi,yi)与曲线y=f(x)的距离i的平方和最小。记)2(])([])([),,(211211221iiknimkkininiiimyxrayxfaaaJ问题归结为，求a1,a2,…am使J(a1,a2,…am)最小。先选定一组函数r1(x),r2(x),…rm(x),mn,令其中a1,a2,…am为待定系数。）（1)(...)()()(2211xraxraxraxfmm曲线拟合的常用解法此时正规方程组为:yRaRRTT)(nmnmmnmmnnmmmnmmnyyyxxxxxxaaaxxxxxxxxxxxx2111211212111221111121121111111111即nimiiniiiniimniminiminiminiminiiniiniminiixyxyyaaaxxxxxxxxn1111211221111121111曲线拟合的常用解法指数拟合如果数据组分布近似指数曲线，则可考虑用指数函数去拟合数据，即选取a,b，使),,,2,1)(,(niyxiiaxbeyniaxiibeybaF12)(),(最小。但正则方程组是非线性的，可考虑通过取对数转化为线性。baxylnln求出数据组的最小二乘拟合直线),,,2,1)(ln,(niyxii,10xaay取指数得数据组),,,2,1)(,(niyxii最小二乘拟合指数.1010xaaxaaeeey曲线拟合的常用解法函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念函数逼近)()(xfxp复杂函数简单函数尽可能小要求：)()(xpxf（足够的小）N维空间},),({xPHnn}],{[],[，数乘区间上的连续函数，babaC}p],{[],[，数乘阶连续导数的函数，区间上具有babaCp函数逼近的基本概念},...,{S21nxxxspan生成空间：nnHxxxspan},...,,1{S2生成空间：N+1维空间定理1Weierstrass上一致成立。在使得：总存在多项式则对任何设],[)()(),(,0],,[)(baxfxpxpbaCxf函数逼近的基本概念范数与赋范空间｝称为赋范线性空间。则｛上的范数，为为线性空间，设S,SS内积与内积空间nnyxyxyxyx...),(2211N维向量空间内积332211),(yxyxyxyx函数逼近的基本概念推而广之它满足以下条件：为中一个数与之对应，记有）上的线性空间，对或是数域设),,(,,CK(RXvuKXvu0),(0,0),()4(,,,),(),(),()3(),(),()2(),(),()1(＝时，当且仅当uuuvuKXwvuwvwuwvuvuvuuvvu上的内积。为则称X),(vu称为内积空间线性空间)},(),({X函数逼近的基本概念内积空间常用的范数为：),(uuu上的内积定义为：],[baCbadxxgxfxxgxf)()()())(),((2122))(()(badxxfxf范数定义为：函数逼近的基本概念内积空间的重要结论定理2Cauchy-Schwarz不等式),)(,(),(,,,X2vvuuvuXvu有是一内积空间，对设2322212322212332211)()(yyyxxxyxyxyx特别地函数逼近的基本概念定理3Gram矩阵),(),(),(),(...),(),(),(...),(),(,,...,X21222121211121nnnnnnnuuuuuuuuuuuuuuuuuuGXuuu为一内积空间，设线性无关非奇异nuuuG,...,21函数逼近的基本概念的重要工具正交多项式是函数逼近一、正交多项式的基本概念.)(,)()(0)()()())()((,)(,)()(0正交上带权在与则称，数且满足上的权函为，，若xbaxgxfdxxgxfxxgxfbaxbaCxgxfba;)()}({,00)()()()()(),()(10正交函数系上带权，是则称，，满足关系，，若函数族xbaxkjAkjdxxxxxxxkkkjbakjn定义.,1系则称之为标准正交函数若kA一、正交多项式的基本概念},sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1{nxnxxxxx.],[)1(上的积分等于零任意两个不同函数在,0cosnxdx,0sinnxdx三角函数系：正交性：.0cossinnxdxmx),2,1,(nm其中.,,.......2sin,2cos,sin,cos,1,上的正交函数族就是在区间三角函数族例如xxxx回忆傅氏级数的结论正交多项式的基本概念,,,0sinsinnmnmnxdxmx,,,0coscosnmnmnxdxmx.],[)2(上的积分等于任意两个相同函数在0)sin,(cos)sin,(sin)cos,(cos0)sin,1()cos,1()sin,(cos,,...2,1,,)cos,(cos)sin,(sin,2)1,1(jxkxjxkxjxkxkxkxkxkxjkjkkxkxkxkx有时当而对正交多项式的基本概念区间[a,b]上关于权函数的正交函数系必定线性无关证明},...,{),(10nx正交函数系为：权函数为设0...,...,},...,{)(11001010nnnncccccc使得：即存在不全为零的实数线性相关，假设反证0))...))01100iiiinniiiccccc，（，（，（，（，则有：不妨设矛盾只有，（而0,0)iiic证毕定理6.2二、正交函数系的性质证明：0)()(1dxQxxkkbak｝正交｛)()()()(101xbxQxxjkjjkkk线性组合｝线性无关组｛｝正交｛dxxbxxdxQxjkjjkbakkba)()()()(1010)()()(10＝＝dxxxxbjbakkjj,...)2,1(0)(),(,],[)}({)()(11kdxQxQkbaxxkxkkbakkkk对任意的上正交的充要条件是：在则为权函数，次多项式，是设定理6.3次多项式为任意至多其中1)(1kxQk正交函数系的性质,...)2,1(0)(),(,11kdxQxQkkkbakk若对任意的kjAkjdxxxxkkjbakj,00)()()()(，，要证明：)1,...2,1(0)()()(),()()(1kjdxxxxxxQjkbajkjk特别取：0)()(),(20)(2dxxxkbaxkkk又上正交在所以],[)}({baxk证毕正交函数系的性质的线性组合均可表为对nnnHxP,...)()2(0kjAkjdxxxxkkjbakj,00)()()()()3(，，线性无关},...,{)1(10n正交多项式系的性质：正交函数系的性质:)}({...},,..,1{),(,0xxxxbann构造出正交多项式序列利用逐个正交化手续关的幂函数均可由一族线性无及权函数只要给定区间.......)21)()()()()(,1)(100，，（），（），（nxxxxxxxxjnjjjjnnn三、正交多项式系的构造9241221115112022753)(25214256592025)(70172792)(2015323)(61)(21)(1)(2345662345523442332210xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx:)}({]1,0[...},,..,1{0xxxnn正交多项式序列正交化构造出由请同学们写出)(~)(108xx正交多项式系的构造正交性验证：kjAkjdxxxxkkjbakj,00{)()()()(，，1109908100000006985441000000044100100000002800100000001801000000012100000001正交多项式系的构造xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx42935143105143231)(23151151115)(215910)(35376)(53)(31)()(1)(35772466355244332210:)}({]1,1[...},,..,1{0xxxnn正交多项式序列正交化构造出由请同学们写出)(~)(108xx正交多项式系的构造定理：按以下方式定义的多项式集合},,{10n是区间[a,b]上关于权函数的正交函数族。不恒为零）（)(,0)(xx),,3,2()()()()()(,1)(21110nkxxxxxxxkkkkk其中或按下述定理求正交多项式系的构造),,3,2()()()()(),(),(22122211nkdxxxdxxxbakbakkkkkk),,2,1()()()()(),(),(12121111nkdxxxdxxxxxbakbakkkkkk正交多项式系的构造勒让德多项式.1及其结构特点1)(x权函数正交化得到的多项式由,...},...,1{nxx]1,1[区间为),...(),...(),(:10xPxPxPn专用符号,...)2,1(1)(},)1{(!21)(:02nxPxdxdnxPnnnnn一般表达式四、勒让德(Legendre)正交多项式的勒让德多项式为显然最高项系数为的系数于是得首项1.)!(2)!2(2nnaxnnn])1[()!2(!)(~2nnnnxdxdnnxP勒让德正交多项式nmnnmdxxPxPmn，；，正交性性质1220)()(111:.2质勒让德多项式的重要性奇偶性性质2为奇数时奇函数为偶数时偶函数nnxPn,,)(递推关系性质3)(1)(112)(11xPnnxPnnxPnnn.]1,1[)(4个不同的实零点内有在区间性质nxPn勒让德正交多项式xxPxP)(1)(10213)(22xxP,2)35()(33xxxP,8)33035()(244xxxP,8)157063()(355xxxxP,16)510531523()(2466xxxxP:10.3位勒让德多项式集的前请同学们写出)(~)(108xx,16)35315693429()(3577