泛函和变分法

计算物理泛函和变分法泛函和变分法泛函和变分的基本概念最简泛函的极值问题其它类型泛函的极值问题泛函和变分用于微分方程边值问题√泛函和变分的基本概念(1/4)泛函的定义例(最短路径)：设C为定义在[a,b]上、满足条件y(a)=y1和y(b)=y2的、所有可微函数y(x)的集合。用L表示这样一段曲线的长(如右图所示)，L=L[y(x)]问题：沿哪一条路径的路程最短函数的形式y(x)不同abOyxAOyxB例(捷线问题)：质点在重力作用下沿一条光滑的、从点A到点B的曲线运动，所需的时间T取决于曲线的形状(如右图所示)，T=T[y(x)]问题：沿哪一条路径的下落时间最短函数的形式y(x)不同√泛函和变分的基本概念(2/4)定义：设C是函数(形式)的集合，B是实数集合；如果对C中的任一元素y(x)，在B中都有一个元素J与之对应，则称J为y(x)的泛函，记为J[y(x)]泛函是函数的函数，以函数为自变量，而非普通变量最短路径：L=L[y(x)]捷线问题：T=T[y(x)]最简泛函：满足以下关系的泛函称为最简泛函其中F(x,y,y')的称为核函数√泛函和变分的基本概念(3/4)函数的变分和泛函的变分定义：设y(x)是泛函J[y(x)]的定义域内任意函数，如果y(x)变化为定义域内的另一新函数Y(x)，则Y(x)与y(x)之差dy=Y(x)-y(x)称为函数y(x)的变分函数变分和微分的比较变分和微分都是自变量x的函数微分是同一个函数y(x)，由于自变量x的取值不同而导致函数值y的变化；变分是由于函数形式的不同而导致函数值的变化函数求导和求变分可以交换次序√泛函和变分的基本概念(4/4)最简泛函的一阶和二阶变分其中dJ称为泛函的一阶变分，d2J称为二阶变分泛函的极值条件就是一阶变分为零：dJ=0√最简泛函的极值问题(1/9)最简泛函的欧拉方程最简泛函的极值——欧拉方程欧拉方程的解仅仅对应极值函数，不关心泛函的大小通过变分运算等价于一定边界条件下的常微分方程例：如下泛函(不是最简泛函)的极值问题),(),(ddd),(dd])()[(21)(0DD2212yxuyxusquyxyxfyxyuxuuJ=-=等价于以下边界条件下的静电场中的泊松方程),(),,(),(),,(2102222yxqnuyxuyxuyxfyuxu===√最简泛函的极值问题(2/9)例：求以下最简泛函的极值问题1,0,d)()(10102=====xxyyxxyyyJ核函数和微分方程满足边界条件的极值函数例：求解最短路径问题√最简泛函的极值问题(3/9)例：求解捷线问题√最简泛函的极值问题(4/9)√欧拉方程的其它算法如果F中不显含y'，不满足边界条件，则极值函数不存在如果F中不显含y如果F中不显含x最简泛函的极值问题(5/9)例：再求解捷线问题√最简泛函的极值问题(6/9)例(最小旋转面)：光滑曲线以点A(x0,y0)和B(x1,y1)为端点(如右图)，求一条曲线使它绕Ox轴旋转时所得曲面的面积最小xyAB以y(x)表示任意曲线，得旋转面面积从欧拉方程的极值问题求曲线方程√最简泛函的极值问题(7/9)瑞利-里兹法的步骤选一组相对完备的基函数{w0,w1,…,wn,…}，线性展开y为待定系数),(1iiiixwy==只取前面n项，作为y的近似，代入泛函，积分),,,(d))(),(,(d),,(][2111nniiiniiiIxxwxwxFxyyxFyJ=====J[y]=I(1,2,…,n)按多元函数取极值方法niIi,,2,1,0==求解以上n个关于i的方程，得到系数i，代入展开式即可得到y的近似，再计算可得到J[y]取前面n1项，重复以上2和3步，直至J[y]收敛√最简泛函的极值问题(8/9)求解以下泛函的极值函数0)1()0(,d)4()]([1022==--=yyxxyyyxyJ取满足边界条件的基函数：wi=xi(1-x)只取前面n项，作为y的近似√最简泛函的极值问题(9/9)瑞利-里兹法的关键：选择合适的基函数幂函数：{1,x,x2,…}={xi}三角函数：{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…}其它：尽量同时满足边界条件√其它类型泛函的极值问题(1/4)依赖于多个函数的泛函泛函的一般形式=10212121d),,,,,,,,(],,,[xxmmmxyyyyyyxFyyyJ欧拉方程miyFxyFii,,2,1,0)(dd==-例：求解以下泛函的极值问题1,0,1,0d)2(],[2/02/02/022==-=======xxxxzzyyxyzzyzyJ解：√其它类型泛函的极值问题(2/4)例：不均匀的介质中，折射率为n(x,y,z)，光的传播速度为c/n。求光从A(x0,y0,z0)到B(x1,y1,z1)的传播路径设过A和B的某条光滑曲线：y=y(x),z=z(x)费马原理：光沿由A到B的所需时间最短的曲线行进==BA22BAd1),,(d],[xzyczyxnvszyT泛函的极值问题：要求T取极小值√其它类型泛函的极值问题(3/4)依赖于函数高阶导数的泛函泛函的一般形式=10)(d),,,,,(][xxmxyyyyxFyJ欧拉方程0][dd)1()(dd)(dd)(22=---mmmmyFxyFxyFxyF例：求解以下泛函的极值问题1,1,0d)4(21][4/04/04/022=-===-=====xxxxyyyyxyyyJ解：√其它类型泛函的极值问题(4/4)依赖于多元函数的泛函泛函的一般形式yuqxupyuqxupyxqqppuuyxFyxuyxuJD=====222111121212121,,,dd),,,,,,,()],(),,([欧拉方程0)()(,0)()(222111=--=--qFypFxuFqFypFxuF例：拉普拉斯方程的第三类边界问题==)(,02222unuyuxu该定解问题转化为以下泛函的极值问题-=suuyxyuxuyxuJd)21(dd])()[(21)],([222√泛函和变分用于……(1/1)斯特姆-刘维型方程Ly=lr(x)y本征值：l1l2l3…本征函数：y1(x),y2(x),y3(x),…构成完备正交系mnbanmnnnxxxyxyxyxxLydrrl==d)()()(),()()(任意函数f(x)(要求一阶导数连续、二阶导数分段连续、归一)的展开===bannnnnxxxyxfcxycxf1d)()()(,)()(r泛函112d)()()]([ll===nnnbacxxLfxfxfJ如果l1是泛函J[f(x)]的极小值，则必是斯特姆-刘维型方程的最小本征值将最小本征值问题转化为泛函的极值问题√作业无