广东省中山市第一中学2017-2018学年高二数学下学期第二次段考试题 理

中山市第一中学2017-2018学年高二年级第二次统测理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．下列说法正确的是（）A．由归纳推理得到的结论一定正确B．由类比推理得到的结论一定正确C．由合情推理得到的结论一定正确D．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确2．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是（）A．B．C．D．3．已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．4．用反证法证明命题“已知a、b、c为非零实数，且，求证a、b、c中至少有二个为正数”时，要做的假设是（）A．a、b、c中至少有二个为负数B．a、b、c中至多有一个为负数C．a、b、c中至多有二个为正数D．a、b、c中至多有二个为负数5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X01P则q等于A．1B．C．D．6．若，且，则等于A．B．C．D．7．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24B．18C．12D．98．设6260126(2)xaaxaxax，则的值是A．665B．729C．728D．639．如图，由曲线，直线和x轴围成的封闭图形的面积是A．1B．23C．43D．210．已知函数，则A．B．eC．D．111．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于A．101021235()()88CB．99211353()()888CC．9921153()()88CD．9921135()()88C12．若函数在上是单调函数，则a的取值范围是A．1(,0][,)4B．1(,][0,)4C．1[,0]4D．(,1]二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a、b、c、d四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，不同的染色方法的种数有______种．14．已知复数z满30zz，则______．15．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______．16．222017-2(4)xxdx．三、解答题（本大题共7小题，共70分）（一）必做题17．（本题满分为12分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列．18．（本题满分为12分）某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．气温141286用电量度22263438（I）求线性回归方程；（参考数据：411120iiixy，421440iix）（II）根据（I）的回归方程估计当气温为时的用电量．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆniiiniixynxybxnx，ˆˆaybx．19．（本题满分为12分）已知112a，112nnnaaa（*nN）．（1）求并由此猜想数列的通项公式的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．20．（本题满分为12分）已知的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项的系数的56．（1）求该展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．21．（本题满分为12分）设函数，记．（I）求曲线在处的切线方程；（II）求函数的单调区间；（III）当时，若函数没有零点，求a的取值范围．（二）选做题（请考生从给出的22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑，注意所做题目必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。）22．（本题满分为10分）已知直线l的参数方程为315425xtyt（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于两点，求．23．（本题满分为10分）求证：（1）；（2）．中山市第一中学2017-2018学年高二年级第二次统测理科数学参考答案【答案】1．D2．A3．A4．A5．C6．A7．B8．A9．D10．C11．B12．B13．18014．15．16．17．解：设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A，事件A包括两种情况，一是抽到的是一个一等品，二是抽到的是一个二等品，这两种情况是互斥的，事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”；由题可知X可能取值为．，的分布列是：18．解：把代入回归方程得，解得．回归方程为；当时，，估计当气温为时的用电量为30度．19．解：因为所以由此猜想数列的通项公式下面用数学归纳法证明当时，，猜想成立假设当时，猜想成立，即那么．即当时，猜想也成立；综合可知，对猜想都成立，即20．解：第项系数为，第r项系数为，第项系数为依题意得到，即，解得，所以二项式系数最大的项是第4项和第5项．所以．设第项的系数最大，则解得又因为，所以展开式中系数最大的项为21．解：，则函数在处的切线的斜率为．又，所以函数在处的切线方程为，即Ⅱ．当时，在区间上单调递增；当时，令，解得；令，解得．综上所述，当时，函数的增区间是；当时，函数的增区间是，减区间是．Ⅲ依题意，函数没有零点，即无解．由Ⅱ知，当时，函数在区间上为增函数，区间上为减函数，由于，只需，解得．所以实数a的取值范围为22．解：直线l的参数方程为为参数，消去t得到：，即：．曲线C的极坐标方程为转化为：，整理得：．将l的参数方程为参数，代入曲线C：，整理得：，所以：，则：．23．证明：，；要证，只要证，只要证，只要证，只要证，显然成立，故．中山市第一中学2017-2018学年高二年级第二次统测理科数学解析1．解：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理由归纳推理得到的结论不一定正确，A、C错；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理由类比推理得到的结论不一定正确，故B错；演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，在大前提、小前提和推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确，故D正确，综上可知有D是正确的，故选D．本题解决的关键是了解归纳推理、演绎推理和类比推理的概念及它们间的区别与联系演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论．本题主要考查推理的含义与作用所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理演绎推理可以从一般到一般；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．2．本题考查的是归纳推理，处理的方法是，由已知的图案中分析出白色地面砖的块数与图形序号n之间的关系，并由此猜想数列的通项公式，解答问题归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想．【解答】解：观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”．故第n个图案中有白色地面砖的块数是，故选A．3．解：在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得．故选：A．利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．本题考查复数的几何意义，考查计算能力．4．解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“a、b、c中至少有二个为正数”的否定为：“a、b、c中至少有二个为负数”．故选A．用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a、b、c中至少有二个为负数”，由此得出结论．本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的关键．5．解：由题意可得，可得，解得舍去．故选：C．利用分布列概率和为1，列出方程求解即可．本题考查离散性随机变量的分布列的应用，考查转化思想以及计算能力．6．【分析】本题考查正态分布，考查求概率，解题的关键是确定曲线的对称轴为，利用对称性解题根据随机变量，可得曲线的对称轴为，利用对称性，即可求得．【解答】解：随机变量，曲线的对称轴为，，．故选A．7．解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有种走法．同理从F到G，最短的走法，有种走法．小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为种走法．故选：B．从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有种走法，利用乘法原理可得结论．本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题8．解：，由二项式定理可知均为正数，均为负数，令可得：时，．．故选：A．由二项式定理可知均为正数，均为负数，可得，把代入已知式子计数可得结果．本题考查二项式定理，赋值法的应用，考查计算能力，属基础题．9．解：由曲线，直线和x轴围成的封闭图形的面积为故选D．，直线和x轴围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，然后利用定积分的定义进行求解即可．本题主要考查了利用定积分求面积，同时考查了定积分的等价转化，属于中档题．10．解：求导得：，把代入得：，解得：，，故选：C．利用求导法则求出的导函数，把代入导函数中得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值．本题要求学生掌握求导法则学生在求的导函数时注意是一个常数，这是本题的易错点．11．解：根据题意，表示第12次为红球，则前11次中有9次为红球，从而，故选B．根据题意，表示第12次为红球，则前11次中有9次为红球，由n次独立重复事件恰好发生k次的概率，计算可得答案．本题考查n次独立重复事件恰好发生k次的概率，解本题须认真分析的意义．12．解：由题意得，，因为在上是单调函数，所以或在上恒成立，当时，则在上恒成立，即，设，因为，所以，当时，取到最大值是：0，所以，当时，则在上恒成立，即，设，因为，所以，当时，取到最小值是：，所以，综上可得，或，所以数a的取值范围是，故选：B．由求导公式和法则求出，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．本题查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查分离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题．13．解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域a有5种涂法，b有4种涂法，c有3种，d有3种涂法共有种不同的染色方法．故答案为：180．由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域a有5种涂法，b有4种涂法，c有3种，d有3种涂法，根据乘法原理可得结论．本题以实际问题为载体，考查计数原理的运用，关键搞清是分类，还是分步．14．解：由，得，设，由，得，即，解得：．．则．故答案为：．设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．15．【分析】由函数的图象可得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而得不等式的解集．本题考查导数与函数单调性的关系，考查学生的识图能力，利用导数求函数的单调性是重点．【解答】解：由图象特征可得，在上大于